17. Um fabricante tem vendido 1000 aparelhos de televisão por semana, a R$450, 00 cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada R$10, 00 de de...

a) A função demanda pode ser encontrada a partir da relação entre o preço e a quantidade demandada. Sabendo que para cada R$10,00 de desconto, a quantidade demandada aumenta em 100 aparelhos, podemos escrever a função demanda como: Q(p) = 1000 + 100*(450-p)/10 Simplificando a expressão, temos: Q(p) = 1000 + 100*(45-p) Portanto, a função demanda é Q(p) = 10000 - 100p. b) Para maximizar a receita, é necessário encontrar o ponto em que a demanda é igual ao número de aparelhos que a empresa pode produzir e vender. Sabendo que a empresa vende 1000 aparelhos por semana, podemos escrever a equação de receita como: R(p) = p*Q(p) = p*(10000 - 100p) Para encontrar o valor de p que maximiza a receita, podemos derivar a função R(p) em relação a p e igualar a zero: R'(p) = 10000 - 200p = 0 p = 50 Portanto, a empresa deve oferecer um desconto de R$50,00 para maximizar sua receita. c) Para maximizar o lucro, é necessário encontrar o ponto em que a receita é igual ao custo. Sabendo que a receita é dada por R(p) = p*(10000 - 100p) e o custo é dado por C(x) = 68000 + 150x, podemos escrever a equação de lucro como: L(p) = R(p) - C(x) = p*(10000 - 100p) - (68000 + 150x) Substituindo x pela quantidade de aparelhos vendidos (x = Q(p)), temos: L(p) = p*(10000 - 100p) - (68000 + 150*Q(p)) L(p) = p*(10000 - 100p) - (68000 + 150*(10000 - 100p)) L(p) = -100p^2 + 15000p - 820000 Para encontrar o valor de p que maximiza o lucro, podemos derivar a função L(p) em relação a p e igualar a zero: L'(p) = -200p + 15000 = 0 p = 75 Portanto, o fabricante deveria oferecer um desconto de R$75,00 para maximizar o seu lucro.