2. Determine o volume do sólido dado. a) Abaixo do plano x− 2y + z = 1 e acima da região limitada por x+ y = 1 e x2 + y = 1 b) Abaixo da superfície...

a) Para encontrar o volume do sólido, é necessário integrar a função 1 em relação a z, delimitando o intervalo inferior pelo plano x - 2y + z = 1 e o intervalo superior pela região limitada por x + y = 1 e x² + y = 1. A integral tripla resultante é: V = ∭ E dV = ∫∫ R [∫ 1^(1-x²-y) dz] dA Onde E é a região delimitada pelas superfícies, R é a projeção de E no plano xy e dA é um elemento de área infinitesimal em R. A projeção de E no plano xy é a região limitada pela curva x + y = 1 e a curva x² + y = 1. Portanto, a integral tripla pode ser escrita como: V = ∫∫ R (1 - x² - y) dA Para calcular essa integral, é necessário escolher um sistema de coordenadas apropriado. Neste caso, é conveniente usar coordenadas polares. A região R pode ser descrita pelas desigualdades: √y ≤ x ≤ √(1-y²) 0 ≤ y ≤ 1 Assim, a integral tripla pode ser escrita como: V = ∫ 0^1 ∫ √y^1-√y ∫ 1-x²-y^1 dxdydz Resolvendo as integrais, obtemos: V = 1/6 Portanto, o volume do sólido é 1/6. b) Para encontrar o volume do sólido, é necessário integrar a função 1 em relação a z, delimitando o intervalo inferior pela região limitada pelas curvas x = y² e x = y³ e o intervalo superior pela superfície z = 2x + y². A integral tripla resultante é: V = ∭ E dV = ∫∫ R [∫ 2x+y²^1 dxdy] dz Onde E é a região delimitada pelas superfícies, R é a projeção de E no plano xy e dA é um elemento de área infinitesimal em R. A projeção de E no plano xy é a região limitada pelas curvas x = y² e x = y³. Portanto, a integral tripla pode ser escrita como: V = ∫ 0^1 ∫ y^2^y^3 ∫ 2x+y²^1 dxdydz Resolvendo as integrais, obtemos: V = 11/30 Portanto, o volume do sólido é 11/30. c) Para encontrar o volume do sólido, é necessário integrar a função 1 em relação a z, delimitando o intervalo inferior pelo triângulo com vértices em (1,1), (4,1) e (1,2) e o intervalo superior pela superfície z = xy. A integral tripla resultante é: V = ∭ E dV = ∫∫ R [∫ xy^1 dxdy] dz Onde E é a região delimitada pelas superfícies, R é a projeção de E no plano xy e dA é um elemento de área infinitesimal em R. A projeção de E no plano xy é o triângulo com vértices em (1,1), (4,1) e (1,2). Portanto, a integral tripla pode ser escrita como: V = ∫ 1^4 ∫ 1-x^2^2-x ∫ xy^1 dxdydz Resolvendo as integrais, obtemos: V = 15/4 Portanto, o volume do sólido é 15/4. d) Para encontrar o volume do sólido, é necessário integrar a função 1 em relação a z, delimitando o intervalo inferior pelo paraboloide z = x² + 3y² e o intervalo superior pelos planos x = 0, y = 1, y = x e z = 0. A integral tripla resultante é: V = ∭ E dV = ∫∫ R [∫ x²+3y²^0 dxdy] dz Onde E é a região delimitada pelas superfícies, R é a projeção de E no plano xy e dA é um elemento de área infinitesimal em R. A projeção de E no plano xy é o triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (1,1). Portanto, a integral tripla pode ser escrita como: V = ∫ 0^1 ∫ 0^y ∫ x²+3y²^0 dxdydz + ∫ 0^1 ∫ y^1 ∫ x²+3y²^0 dxdydz Resolvendo as integrais, obtemos: V = 1/3 Portanto, o volume do sólido é 1/3. e) Para encontrar o volume do sólido, é necessário integrar a função 1 em relação a z, delimitando o intervalo inferior pelos planos coordenados e o intervalo superior pelo plano 3x + 2y + z = 6. A integral tripla resultante é: V = ∭ E dV = ∫∫ R [∫ 6-3x-2y^0 dxdy] dz Onde E é a região delimitada pelas superfícies, R é a projeção de E no plano xy e dA é um elemento de área infinitesimal em R. A projeção de E no plano xy é o triângulo com vértices em (0,0), (0,3) e (2,0). Portanto, a integral tripla pode ser escrita como: V = ∫ 0^2 ∫ 0^(3-3x/2) ∫ 6-3x-2y^0 dxdydz Resolvendo as integrais, obtemos: V = 9 Portanto, o volume do sólido é 9. f) Para encontrar o volume do sólido, é necessário integrar a função 1 em relação a z, delimitando o intervalo inferior pelo plano z = 0 e o intervalo superior pelo plano x + y = 2. A integral tripla resultante é: V = ∭ E dV = ∫∫ R [∫ 2-x-y^0 dxdy] dz Onde E é a região delimitada pelas superfícies, R é a projeção de E no plano xy e dA é um elemento de área infinitesimal em R. A projeção de E no plano xy é o triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (2,0). Portanto, a integral tripla pode ser escrita como: V = ∫ 0^2 ∫ 0^(2-x) ∫ 2-x-y^0 dxdydz Resolvendo as integrais, obtemos: V = 2/3 Portanto, o volume do sólido é 2/3. g) Para encontrar o volume do sólido, é necessário integrar a função 1 em relação a z, delimitando o intervalo inferior pelo plano z = 0 e o intervalo superior pelos cilindros z = x² e y = x², e pelos planos y = 4. A integral tripla resultante é: V = ∭ E dV = ∫∫ R [∫ 4-x²^x² dxdy] dz Onde E é a região delimitada pelas superfícies, R é a projeção de E no plano xy e dA é um elemento de área infinitesimal em R. A projeção de E no plano xy é o triângulo com vértices em (0,0), (0,4) e (2,4). Portanto, a integral tripla pode ser escrita como: V = ∫ 0^2 ∫ 0^4-x² ∫ 4-x²^x² dxdydz Resolvendo as integrais, obtemos: V = 64/15 Portanto, o volume do sólido é 64/15.