(PETROBRAS - TÉCNICO DE ENFERMAGEM DO TRABALHO JÚNIOR -CESGRANRIO/2017) A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por Quant...

Para encontrar o quarto termo de uma progressão geométrica, precisamos conhecer pelo menos um dos termos e a razão da progressão. Como não temos essa informação, vamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica: S_n = a(1 - q^n)/(1 - q) Onde: - S_n é a soma dos n primeiros termos - a é o primeiro termo - q é a razão da progressão Como não temos a razão, vamos utilizar a relação entre os termos da progressão geométrica: a_n = a_1 * q^(n-1) Onde: - a_n é o n-ésimo termo - a_1 é o primeiro termo - q é a razão da progressão Podemos reescrever a fórmula da soma dos n primeiros termos como: S_n = a_1 * (1 - q^n)/(1 - q) Sabemos que a soma dos n primeiros termos é dada por: S_n = a_1 * (1 - q^n)/(1 - q) = 7 E que a razão da progressão é desconhecida. No entanto, podemos utilizar a relação entre os termos para encontrar a razão: a_4 = a_1 * q^(4-1) Como queremos encontrar o quarto termo, podemos assumir que n = 4 e substituir na fórmula da soma: S_4 = a_1 * (1 - q^4)/(1 - q) = a_1 + a_1*q + a_1*q^2 + a_1*q^3 7 = a_1 * (1 - q^4)/(1 - q) = a_1 + a_1*q + a_1*q^2 + a_1*q^3 Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por a_1: 7/a_1 = (1 - q^4)/(1 - q) = 1 + q + q^2 + q^3 Podemos reorganizar a equação para obter: q^4 + q^3 + q^2 + q - 6 = 0 Podemos tentar fatorar a equação para encontrar as raízes: (q - 1)(q^3 + 2q^2 + 3q + 6) = 0 A primeira raiz é q = 1, que não é útil para nós, pois resultaria em uma progressão aritmética. A segunda raiz é aproximadamente -2,16, o que não faz sentido para uma razão. Portanto, a única opção é utilizar a fórmula da soma com a razão desconhecida: S_4 = a_1 * (1 - q^4)/(1 - q) = 7 Podemos testar algumas opções para a razão para ver se alguma delas resulta em uma soma de 7: - Se q = 2, temos: S_4 = a_1 * (1 - 2^4)/(1 - 2) = -15a_1 Isso não faz sentido, pois a soma não pode ser negativa. - Se q = 1/2, temos: S_4 = a_1 * (1 - (1/2)^4)/(1 - 1/2) = 15/2 * a_1 Isso também não faz sentido, pois a soma não pode ser fracionária. - Se q = -1/2, temos: S_4 = a_1 * (1 - (-1/2)^4)/(1 - (-1/2)) = 39/2 * a_1 Isso faz sentido, pois a soma é um número inteiro e positivo. Portanto, a resposta correta é a letra (D) 39.