10. (PETROBRAS - Técnico de Enfermagem do Trabalho Júnior -CESGRANRIO/2017) Qual o maior valor de k na equação log(kx) = 2log(x+3) para que ela ten...

Para que a equação log(kx) = 2log(x+3) tenha exatamente uma raiz, é necessário que a reta y = 2x + 6 seja tangente à curva y = log(x). Para que isso ocorra, a reta deve tocar a curva em apenas um ponto, ou seja, a equação log(kx) = 2log(x+3) deve ter apenas uma solução. Assim, podemos escrever: log(kx) = log(x+3)^2 kx = (x+3)^2 kx = x^2 + 6x + 9 x^2 + (6-k)x + 9 = 0 Para que a equação tenha apenas uma raiz, o discriminante deve ser igual a zero: (6-k)^2 - 4*1*9 = 0 36 - 12k + k^2 - 36 = 0 k^2 - 12k = 0 k(k-12) = 0 Assim, as raízes são k = 0 e k = 12. Como estamos procurando o maior valor de k, a resposta correta é a letra E) 12.