4) (IBMEC-2005) Uma matriz quadrada M é chamada de idempotente se M^2 = M. a) Determine θ∈[-π, π] para que a matriz, [θ θ; θ θ], seja idempotente. ...

a) Para que a matriz [θ θ; θ θ] seja idempotente, precisamos que ela satisfaça a condição M^2 = M. Substituindo M pela matriz dada, temos: [θ θ; θ θ]² = [θ θ; θ θ] x [θ θ; θ θ] [θ²+θ² θθ+θθ; θθ+θθ θ²+θ²] = [θ θ; θ θ] Igualando as entradas correspondentes, temos o seguinte sistema de equações: θ² + θ² = θ θθ + θθ = θ θθ + θθ = θ θ² + θ² = θ Resolvendo esse sistema, obtemos duas soluções possíveis: θ = 0 ou θ = 1 b) Para que a matriz [α β; β α] seja idempotente, precisamos que ela satisfaça a condição M^2 = M. Substituindo M pela matriz dada, temos: [α β; β α]² = [α β; β α] x [α β; β α] [α²+β² αβ+βα; βα+αβ α²+β²] = [α β; β α] Igualando as entradas correspondentes, temos o seguinte sistema de equações: α² + β² = α αβ + βα = β βα + αβ = β α² + β² = α Resolvendo esse sistema, obtemos duas soluções possíveis: α = 0 e β = 0 ou α = 1/2 e β = 1/2