117. (Puc-rio) a) Esboce os gráficos de y=sen(x) e de y=cos(x). b) Para quantos valores de x entre 0 e 2™ temos sen(x)=2cos(x)?

a) Os gráficos de y = sen(x) e y = cos(x) são:  b) Podemos reescrever a equação como sen(x) = 2cos(x) / 1, usando a identidade trigonométrica sen(x) = cateto oposto / hipotenusa e cos(x) = cateto adjacente / hipotenusa. Então, temos: sen(x) = 2cos(x) / 1 sen(x) = 2 * (cateto adjacente / hipotenusa) / 1 sen(x) = 2 * cos(x) Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por cos(x): sen(x) / cos(x) = 2 Usando a identidade trigonométrica tangente (tan(x) = sen(x) / cos(x)), temos: tan(x) = 2 Podemos encontrar os valores de x entre 0 e 2π que satisfazem essa equação encontrando os valores de arctan(2) nesse intervalo. Usando uma calculadora, encontramos que: arctan(2) ≈ 1,107 Então, temos: x = arctan(2) + kπ e x = π + arctan(2) + kπ, onde k é um número inteiro. No intervalo de 0 a 2π, temos: 0 ≤ arctan(2) ≤ 1,107 < π π ≤ π + arctan(2) ≤ 3,248 < 2π Portanto, temos duas soluções no intervalo de 0 a 2π.