Sólidos de revolução são gerados pela rotação de funções em torno dos eixos principais, x e y, ou em torno de qualquer eixo imaginário criado no pl...

Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da função f(x) = x² em torno do eixo y, podemos utilizar o método de discos ou de cascas cilíndricas. Método de discos: - Dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos de largura Δx = (b - a) / n - Para cada subintervalo, escolher um ponto xi e calcular a área do disco gerado pela rotação da função em torno do eixo y: Ai = π * f(xi)² - Somar as áreas de todos os discos: A = Σ Ai - Calcular o volume do sólido de revolução: V = A * Δx Método de cascas cilíndricas: - Dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos de largura Δx = (b - a) / n - Para cada subintervalo, escolher um ponto xi e calcular a altura da casca cilíndrica gerada pela rotação da função em torno do eixo y: hi = f(xi) - Calcular o raio da casca cilíndrica: ri = xi - Calcular a área da superfície lateral da casca cilíndrica: Ai = 2π * ri * hi - Somar as áreas de todas as cascas cilíndricas: A = Σ Ai - Calcular o volume do sólido de revolução: V = A * Δx Aplicando o método de discos, temos: - Δx = (2 - 0) / n = 2/n - xi = i * Δx = 2i/n - Ai = π * f(xi)² = π * (2i/n)² = 4π * i² / n² - A = Σ Ai = Σ 4π * i² / n² = 4π / n² * Σ i² - Σ i² = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6 (soma dos quadrados dos primeiros n números naturais) - A = 4π / n² * n * (n + 1) * (2n + 1) / 6 = 4π / 3 * (n + 1) * (2n + 1) / n - V = A * Δx = 4π / 3 * (n + 1) * (2n + 1) / n * 2/n = 8π / 3 * (n + 1) * (2n + 1) / n² Assim, o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da função f(x) = x² em torno do eixo y, no intervalo [0, 2], é dado por 8π / 3 * (n + 1) * (2n + 1) / n². A alternativa correta depende das opções apresentadas no exercício.