Exercício 6.31. Monte uma integral cujo valor seja igual ao volume do sólido obtido girando a região R (�nita, delimitada pela curva y = 1 � (x � 2...

Para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno da reta y = 2, podemos utilizar o método dos discos. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração. A curva y = 1 - (x - 2)^2 intercepta o eixo x em x = 2 - sqrt(2) e x = 2 + sqrt(2). Portanto, os limites de integração são 2 - sqrt(2) e 2 + sqrt(2). Agora, vamos considerar um disco infinitesimal de raio r e espessura dx, localizado a uma distância y do eixo y = 2. A área desse disco é dada por: dA = pi * r^2 * dx Podemos encontrar o raio r em função de x e y. Como estamos girando a região R em torno da reta y = 2, temos que r = y - 2. Além disso, y = 1 - (x - 2)^2. Substituindo, temos: r = 1 - (x - 2)^2 - 2 = -x^2 + 4x - 3 Agora, podemos escrever a integral que representa o volume do sólido: V = integral de 2 - sqrt(2) até 2 + sqrt(2) de pi * (-x^2 + 4x - 3)^2 dx Essa integral pode ser resolvida por meio de integração por substituição ou por integração por partes.