Exercício 6.44. Se f : [0;1)! R, a transformada de Laplace de f(x) é a função L(s) de�nida pela integral imprópria a L(s):= Z 1 0 e�sxf(x) dx ; s �...

Vamos calcular as transformadas de Laplace das funções dadas: 1. k (constante) L(s) = ∫[0,1) e^(-sx) k dx L(s) = k ∫[0,1) e^(-sx) dx L(s) = k [(-1/s) e^(-sx)]_0^1 L(s) = k [(-1/s) (e^(-s) - 1)] L(s) = k / s, para s > 0 2. x L(s) = ∫[0,1) e^(-sx) x dx L(s) = [-1/s x e^(-sx)]_0^1 + (1/s) ∫[0,1) e^(-sx) dx L(s) = [-1/s x e^(-s) + 1/s^2 (e^(-sx))]_0^1 L(s) = [-1/s (e^(-s) - 1) + 1/s^2 (e^(-s) - 1)] L(s) = (1/s^2) - (1/s) e^(-s), para s > 0 3. sen(x) L(s) = ∫[0,1) e^(-sx) sen(x) dx L(s) = Im[∫[0,1) e^(-sx) e^(ix) dx] L(s) = Im[∫[0,1) e^(-(s-i)x) dx] L(s) = Im[(1/(s-i)) (e^(-(s-i)x))]_0^1 L(s) = Im[(1/(s-i)) (e^(-s+i))] - Im[(1/(s-i)) (1)] L(s) = (1/(s^2+1)) [sine(1) - isine(1)], para s > 0 4. e^(-x) L(s) = ∫[0,1) e^(-sx) e^(-x) dx L(s) = ∫[0,1) e^(-(s+1)x) dx L(s) = [(-1/(s+1)) e^(-(s+1)x)]_0^1 L(s) = (-1/(s+1)) (e^(-(s+1)) - 1) L(s) = 1/(s+1), para s > -1 Portanto, as transformadas de Laplace das funções dadas são: 1. k/s 2. (1/s^2) - (1/s) e^(-s) 3. (1/(s^2+1)) [sine(1) - isine(1)] 4. 1/(s+1)