2No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria à prática, os logaritmos são trabalhados em diversas áreas...

Para calcular o valor aproximado da função f(x) = x.log(x+1) - 2, com margem de erro menor ou igual a (0,1), podemos utilizar o método da bissecção. Primeiramente, vamos verificar os sinais da função nos intervalos [0,1] e [1,2]. Temos: f(0) = 0.log(0+1) - 2 = -2 f(1) = 1.log(1+1) - 2 = -1 f(2) = 2.log(2+1) - 2 = 1.1972 Portanto, a função muda de sinal no intervalo [1,2], o que indica que há uma raiz real nesse intervalo. Vamos aplicar o método da bissecção para encontrar essa raiz. Inicialmente, vamos considerar a = 1 e b = 2. O valor da função no ponto médio c = (a+b)/2 é: f(c) = c.log(c+1) - 2 f(1,5) = 1,5.log(1,5+1) - 2 = -0,0205 Como f(1,5) é negativo, a raiz está no intervalo [1,5, 2]. Vamos considerar agora a = 1,5 e b = 2. O valor da função no ponto médio c = (a+b)/2 é: f(c) = c.log(c+1) - 2 f(1,75) = 1,75.log(1,75+1) - 2 = 0,5406 Como f(1,75) é positivo, a raiz está no intervalo [1,5, 1,75]. Vamos considerar agora a = 1,5 e b = 1,75. O valor da função no ponto médio c = (a+b)/2 é: f(c) = c.log(c+1) - 2 f(1,625) = 1,625.log(1,625+1) - 2 = 0,2595 Como f(1,625) é positivo, a raiz está no intervalo [1,5, 1,625]. Vamos considerar agora a = 1,625 e b = 1,75. O valor da função no ponto médio c = (a+b)/2 é: f(c) = c.log(c+1) - 2 f(1,6875) = 1,6875.log(1,6875+1) - 2 = 0,1191 Como f(1,6875) é positivo, a raiz está no intervalo [1,5, 1,6875]. Vamos considerar agora a = 1,6875 e b = 1,75. O valor da função no ponto médio c = (a+b)/2 é: f(c) = c.log(c+1) - 2 f(1,71875) = 1,71875.log(1,71875+1) - 2 = 0,0491 Como f(1,71875) é positivo, a raiz está no intervalo [1,5, 1,71875]. Vamos considerar agora a = 1,71875 e b = 1,75. O valor da função no ponto médio c = (a+b)/2 é: f(c) = c.log(c+1) - 2 f(1,734375) = 1,734375.log(1,734375+1) - 2 = 0,0141 Como f(1,734375) é positivo, a raiz está no intervalo [1,5, 1,734375]. Vamos considerar agora a = 1,734375 e b = 1,75. O valor da função no ponto médio c = (a+b)/2 é: f(c) = c.log(c+1) - 2 f(1,7421875) = 1,7421875.log(1,7421875+1) - 2 = -0,0032 Como f(1,7421875) é negativo, a raiz está no intervalo [1,7421875, 1,75]. Podemos considerar, então, que a raiz da função está no intervalo [1,7421875, 1,75]. Para obter um valor aproximado da raiz com margem de erro menor ou igual a (0,1), podemos considerar o ponto médio desse intervalo como uma aproximação da raiz: x = (1,7421875 + 1,75)/2 = 1,74609375 Para verificar se essa aproximação atende à margem de erro desejada, podemos calcular o valor absoluto da diferença entre f(x) e zero: |f(1,74609375)| = |1,74609375.log(1,74609375+1) - 2| = 0,0649 Como o valor absoluto da diferença é menor que (0,1), podemos considerar que a aproximação x = 1,74609375 é uma solução aproximada da equação f(x) = 0 com margem de erro menor ou igual a (0,1).