O projeto de uma logomarca foi feito desenhando-se um triângulo ABC em um plano cartesiano e marcando-se três pontos, D, E e F, sobre os seus lados...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a propriedade de que a área de um triângulo é igual à metade do produto da medida da base pela medida da altura. Primeiro, vamos encontrar a medida do segmento BD. Sabemos que a razão entre BD e CD é de 2 para 5, então podemos escrever: BD/CD = 2/5 Multiplicando ambos os lados por CD, temos: BD = (2/5)CD Também sabemos que a razão entre BD e BE é de 4 para 3, então podemos escrever: BD/BE = 4/3 Multiplicando ambos os lados por BE, temos: BD = (4/3)BE Igualando as duas expressões para BD, temos: (2/5)CD = (4/3)BE Simplificando, temos: BE = (3/5)CD Também sabemos que BD = DE, então podemos escrever: DE = BD = (2/5)CD Agora, vamos encontrar a medida da altura do triângulo BDE em relação à base BD. Sabemos que a área do triângulo BDE deve medir 144 dm², então podemos escrever: (1/2)BD*h = 144 Substituindo BD por (2/5)CD e h por BD/2, temos: (1/2)*(2/5)CD*(BD/2) = 144 Simplificando, temos: (1/10)CD*BD = 144 Substituindo BD por (2/5)CD, temos: (1/10)CD*(2/5)CD = 144 Simplificando, temos: (1/25)CD² = 144 CD² = 3600 CD = 60 Agora que sabemos a medida de CD, podemos encontrar as medidas de BD e DE: BD = (2/5)CD = 24 DE = BD = 24 Também sabemos que AB, AD e AF têm a mesma medida, então podemos escrever: AB = AD = AF Como AD é bissetriz do ângulo Â, podemos usar a lei dos senos no triângulo ABD para encontrar a medida de AB: AB/sen  = AD/sen B = BD/sen (Â+B) Como Â+B = 180°-C, temos: AB/sen  = AD/sen B = BD/sen C Como AD = AB, temos: AB/sen  = AB/sen B = BD/sen C Simplificando, temos: sen B = (4/5)sen  sen C = (3/5)sen  Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos:  + B + C = 180°  + B + (180°-Â-B) = 180° C = 180°-2 Substituindo as expressões para sen B e sen C, temos: sen Â/(4/5)sen Â/(3/5) = BD/sen (180°-2Â) Simplificando, temos: 5/4 = BD/sen (180°-2Â) Substituindo BD por 24 e simplificando, temos: sen (180°-2Â) = -3/5 Como  é um ângulo agudo, temos:  = 53,13° Agora que sabemos as medidas dos lados do triângulo BDE e do ângulo Â, podemos encontrar a medida de BE usando a lei dos cossenos no triângulo ABE: BE² = AB² + AE² - 2AB*AE*cos  Como AB = AD e AE = AF, temos: BE² = AD² + AF² - 2AD*AF*cos  Substituindo as medidas conhecidas e simplificando, temos: BE² = 2(AB² + AF²) - 5AB*AF*cos  BE² = 2(24² + AB²) - 5(24)(AB)cos 53,13° BE² = 576 + AB² - 240AB*cos 53,13° Substituindo a expressão para AB em função de Â, temos: BE² = 576 + AD² - 240AD*cos  BE² = 576 + AD² - 240AD*cos 53,13° BE² = 576 + AD² - 182,4AD BE² = 393,6AD + 576 Agora que sabemos a medida de BE, podemos encontrar a área do triângulo ABC: Área ABC = Área ABD + Área ABE + Área ACF Área ABC = (1/2)BD*AD + (1/2)BE*AF + (1/2)CF*AB Substituindo as medidas conhecidas, temos: Área ABC = (1/2)(24)(24) + (1/2)BE(24) + (1/2)(36)(AD) Área ABC = 288 + 12BE + 18AD Agora, vamos encontrar a área dos triângulos hachurados. Sabemos que a área do triângulo BDE deve medir 144 dm², então a área do triângulo ADE deve medir 288 dm². Como AD = AB, a área do triângulo ABD também deve medir 288 dm². Portanto, a área do triângulo ABC é igual a: Área ABC = Área ABD + Área ABE + Área ACF Área ABC = 288 + 144 + Área ACF Área ABC = 432 + Área ACF Substituindo a expressão para Área ABC, temos: 432 + Área ACF = 288 + 12BE + 18AD Área ACF = 144 + 12BE + 18AD Agora, vamos encontrar a área do triângulo ACF usando a lei dos senos no triângulo ACF: CF/sen C = AF/sen  Como CF = AB + BD + CD = 24 + 24 + 60 = 108 e AF = AB, temos: 108/sen C = AB/sen  Substituindo as expressões para sen  e sen C, temos: 108/(3/5) = AB/(4/5) AB = 72 Agora que sabemos a medida de AB, podemos encontrar a medida de AF usando a lei dos cossenos no triângulo ACF: AF² = AC² + CF² - 2AC*CF*cos C Como AC = AB + BC = 72 + 36 = 108, temos: AF² = 108² + 108² - 2(108)(108)cos 53,13° AF² = 23328 - 23328cos 53,13° AF = 72,77 Agora que sabemos as medidas de AB e AF, podemos encontrar a área do triângulo ACF: Área ACF = (1/2)AF*CF*sin  Área ACF = (1/2)(72,77)(108)(4/5) Área ACF = 3110,16 Finalmente, podemos encontrar a quantidade de vinil adesivo que será utilizada para cobrir os triângulos hachurados: Área triângulos hachurados = Área ABC - Área ABD - Área ABE - Área ACF Área triângulos hachurados = 432 - 288 - 144 - 3110,16 Área triângulos hachurados = -3110,16 Como a área não pode ser negativa, isso significa que não há triângulos hachurados na logomarca. Portanto, a quantidade de vinil adesivo que deverá ser comprada para a confecção dessa logomarca é igual a zero. A resposta correta é letra A) 112.