O projeto de uma logomarca foi feito desenhando-se um triângulo ABC em um plano cartesiano e marcando-se três pontos, D, E e F, sobre os seus lados...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a propriedade de que a área de um triângulo é igual à metade do produto da medida da base pela medida da altura. Primeiro, vamos encontrar a medida do segmento BD. Sabemos que a razão entre BD e CD é de 2 para 5, então podemos escrever: BD/CD = 2/5 Multiplicando ambos os lados por CD, temos: BD = (2/5)CD Também sabemos que a razão entre BD e BE é de 4 para 3, então podemos escrever: BD/BE = 4/3 Multiplicando ambos os lados por BE, temos: BD = (4/3)BE Igualando as duas expressões para BD, temos: (2/5)CD = (4/3)BE Simplificando, temos: BE = (3/5)CD Como os segmentos BD e DE têm a mesma medida, podemos escrever: BD = DE Agora, vamos utilizar a informação de que a área do triângulo BDE deve medir 144 dm². Podemos escrever: (1/2)BD*DE = 144 Substituindo BD por (4/3)BE e DE por BD, temos: (1/2)(4/3)BE*BD = 144 Simplificando, temos: (2/3)BE² = 144 BE² = 216 BE = 6√6 Como BD = DE, temos: BD = DE = 6√6 Agora, vamos encontrar a medida do segmento AB. Sabemos que AD é bissetriz do ângulo  e que AD tem a mesma medida que AB, então podemos utilizar a propriedade da bissetriz para escrever: BD/DC = AB/AC Substituindo as razões conhecidas, temos: 2/5 = AB/AC AB = (2/5)AC Também sabemos que AB, AD e AF têm a mesma medida, então podemos escrever: AD = AB = AF = (2/5)AC Agora, vamos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo ABC para encontrar a medida de AC. Temos: AC² = AB² + BC² Substituindo AB por (2/5)AC e BC por BD + DC, temos: AC² = (2/5)²AC² + (6√6 + 5BD/3)² Simplificando, temos: 9AC²/25 = 36 + 20√6BD/9 + 25BD²/9 Substituindo BD por 6√6, temos: 9AC²/25 = 36 + 20√6(6√6)/9 + 25(6√6)²/9 Simplificando, temos: 9AC²/25 = 36 + 160 + 600 9AC²/25 = 796 AC² = 2224 AC = 4√139 Agora, podemos encontrar a área do triângulo ABC utilizando a fórmula da área: Área ABC = (1/2)AC*BD Substituindo AC por 4√139 e BD por 6√6, temos: Área ABC = (1/2)(4√139)(6√6) Área ABC = 48√139 Finalmente, podemos encontrar a área dos triângulos hachurados subtraindo a área do triângulo BDE da área do triângulo ABC: Área hachurada = Área ABC - Área BDE Área hachurada = 48√139 - 144 Área hachurada = 48√139 - 576/4 Área hachurada = 48√139 - 144 Área hachurada = 48(√139 - 3) A quantidade de vinil adesivo necessária será igual à área dos triângulos hachurados, então temos: Área vinil = 48(√139 - 3) Área vinil ≈ 112,2 Portanto, a quantidade de vinil adesivo que deverá ser comprada para a confecção dessa logomarca é de aproximadamente 112 dm², o que corresponde à alternativa A.