onsidere a função → G ( u ) = ( u + 4 , u cos ( 2 u ) , 2 u s e n ( 2 u ) ) , definida para u real positivo. Assinale a alternativa q...

Para encontrar a equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem da função �⃗(�)=(�+4,�cos⁡(2�),2�sin⁡(2�))

G

(u)=(u+4,ucos(2u),2usin(2u)), podemos parametrizar a função em termos de �

x, �

y e �

z.

Dado que �=�+4

x=u+4, �=�cos⁡(2�)

y=ucos(2u) e �=2�sin⁡(2�)

z=2usin(2u), podemos isolar �

u em termos de �

x, �

y e �

z e, em seguida, substituí-lo nas outras equações para encontrar a equação da trajetória da curva.

1. A partir da primeira equação �=�+4
2. x=u+4, temos �=�−4
3. u=x−4.
4. Substituindo �
5. u na segunda equação �=�cos⁡(2�)
6. y=ucos(2u), obtemos �=(�−4)cos⁡(2(�−4))
7. y=(x−4)cos(2(x−4)).
8. Substituindo �
9. u na terceira equação �=2�sin⁡(2�)
10. z=2usin(2u), obtemos �=2(�−4)sin⁡(2(�−4))
11. z=2(x−4)sin(2(x−4)).

Portanto, a equação paramétrica da trajetória da curva espacial é dada por:

{�=�+4�=(�−4)cos⁡(2(�−4))�=2(�−4)sin⁡(2(�−4))

⎩

⎨

⎧

​x=t+4

y=(t−4)cos(2(t−4))

z=2(t−4)sin(2(t−4))

​

Onde t

t é um parâmetro real positivo que varia ao longo da curva.