Um ponto G. divide um segmento AB do eixo e em média e extrema razão se d(A, B) d(A, G) = d(A, G) d(G, B) . Determine a coordenada g do ponto G em ...

Se um ponto G divide um segmento AB em média e extrema razão, então a coordenada de G é dada por: g = (a + b ± √(a² + b² - ab))/2 onde a e b são as coordenadas de A e B, respectivamente. Para verificar se G divide AB em média e extrema razão, podemos calcular as distâncias d(A, G) e d(G, B) e verificar se a igualdade d(A, B) d(A, G) = d(A, G) d(G, B) é satisfeita. Seja m a coordenada de G. Então, temos: d(A, G) = |a - m| d(G, B) = |b - m| d(A, B) = |a - b| Substituindo na igualdade d(A, B) d(A, G) = d(A, G) d(G, B), obtemos: |a - b| |a - m| = |a - m| |b - m| Simplificando ambos os lados por |a - m|, temos: |a - b| = |b - m| ou |a - b| = |a - m| Resolvendo para m em cada caso, obtemos: m = (a + b)/2 (média) ou m = (2ab - a² - b²)/(2a - 2b) (extrema) Portanto, as coordenadas de G são: g = (a + b)/2 ± (b - a)/(2√2) ou g = (2ab - a² - b²)/(2a - 2b)