Um estudante de um curso de matemática se deparou com a matriz abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com célula com menos 1 fim da célula 4 fi...

Para uma matriz 2x2, é possível ter no máximo 2 autovalores. Portanto, um dos autovalores encontrados pelo estudante não pode ser um autovalor da matriz. Para testar cada autovalor, é necessário encontrar os autovetores correspondentes. Para isso, é necessário resolver o sistema de equações (A - λI)x = 0, onde A é a matriz dada, λ é o autovalor e x é o autovetor correspondente. Para o autovalor 2, temos: (A - 2I)x = 0 | -1 4 | | x1 | | 0 | | 2 -1 | x | x2 | = | 0 | Resolvendo o sistema, obtemos x = k(2, 1), onde k é uma constante não nula. Portanto, o autovalor 2 tem apenas um autovetor linearmente independente. Para o autovalor 3, temos: (A - 3I)x = 0 | -2 4 | | x1 | | 0 | | 2 -2 | x | x2 | = | 0 | Resolvendo o sistema, obtemos x = k(2, 2), onde k é uma constante não nula. Portanto, o autovalor 3 tem apenas um autovetor linearmente independente. Para o autovalor 4, temos: (A - 4I)x = 0 | -3 4 | | x1 | | 0 | | 2 -3 | x | x2 | = | 0 | Resolvendo o sistema, obtemos x = k(1, 1), onde k é uma constante não nula. Portanto, o autovalor 4 tem apenas um autovetor linearmente independente. Assim, concluímos que a alternativa correta é a letra D) A matriz tem três autovalores, mas apenas dois autovetores linearmente independentes.