Em muitas situações, os métodos exatos de solução não são eficientes para resolvermos um problema. Os métodos iterativos podem ajudar nesse sentido...

Para resolver o sistema linear usando o método iterativo de Jacobi, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Isolar as variáveis em cada equação: 3x + y + z = 6 => x = (6 - y - z)/3 x + 3y - z = 6 => y = (6 - x + z)/3 -x - y + 4z + 1 = 0 => z = (1 + x + y)/4 2. Escrever as equações em forma matricial: [3 1 1] [x] [6] [1 3 -1] [y] = [6] [-1 -1 4] [z] [-1] 3. Escrever a matriz dos coeficientes como a soma de duas matrizes: D = diagonal principal de A R = matriz A sem a diagonal principal A = D + R D = [3 0 0] [0 3 0] [0 0 4] R = [0 1 1] [1 0 -1] [-1 -1 0] A = [3 1 1] [1 3 -1] [-1 -1 4] 4. Escrever a matriz dos coeficientes como o produto de duas matrizes: D_inv = inversa da matriz D L = matriz triangular inferior formada pelos elementos de R abaixo da diagonal principal U = matriz triangular superior formada pelos elementos de R acima da diagonal principal A = D_inv * (D - R) = D_inv * L * U D_inv = [1/3 0 0] [0 1/3 0] [0 0 1/4] L = [0 0 0] [1/3 0 0] [-1/4 -1/4 0] U = [0 1/3 1/4] [0 0 -1/3] [0 0 0] 5. Escrever a equação iterativa: x(k+1) = D_inv * (b - (L + U) * x(k)) 6. Calcular as soluções aproximadas para k = 0, 1 e 2: k = 0: x(0) = [0 0 0] k = 1: x(1) = [2 2 -1/4] k = 2: x(2) = [5/3 7/3 -5/12] Portanto, a solução aproximada do sistema linear usando o método iterativo de Jacobi até 2 iterações é x = [5/3 7/3 -5/12].