Métodos Iterativos para Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

120 Cálculo Numérico
em função de ε quando 0 < ε < 1. Interprete o limite ε→ 0.
E 4.6.5. Considere os sistemas: 100000x − 9999.99y = −10
−9999.99x + 1000.1y = 1
e
 100000x − 9999.99y = −9.999
−9999.99x + 1000.1y = 1.01
(4.175)
Encontre a solução de cada um e discuta.
E 4.6.6. Considere os vetores de 10 entradas dados por
xj = sen (j/10), yj = j/10 zj = j/10− (j/10)3
6 , j = 1, . . . ,10 (4.176)
Use o Pythonpara construir os seguintes vetores de erro:
ej = |xj − yj|
|xj|
fj = |xj − zj|
xj
(4.177)
Calcule as normas 1, 2 e ∞ de e e f
4.7 Métodos iterativos para sistemas lineares
Na seção anterior, tratamos de métodos diretos para a resolução de sistemas
lineares. Em ummétodo direto (por exemplo, solução via fatoração LU) obtemos
uma aproximação da solução depois de realizarmos um número finito de operações
(só teremos a solução ao final do processo).
Veremos nessa seção dois métodos iterativos básicos para obter uma aproxi-
mação para a solução de um sistema linear. Geralmente em um método iterativo,
iniciamos com uma aproximação para a solução (que pode ser ruim) e vamos me-
lhorando essa aproximação através de sucessivas iterações.
4.7.1 Método de Jacobi
O método de Jacobi pode ser obtido a partir do sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = y1 (4.178)
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = y2 (4.179)
... (4.180)
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = yn (4.181)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
4.7. MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES 121
Isolando o elemento x1 da primeira equação temos
x
(k+1)
1 =
y1 −
(
a12x
(k)
2 + · · ·+ a1nx
(k)
n
)
a11
(4.182)
Note que utilizaremos os elementos x(k)
i da iteração k (a direita da equação) para
estimar o elemento x1 da próxima iteração.
Da mesma forma, isolando o elemento xi de cada equação i, para todo i = 2,...,n
podemos construir a iteração
x
(k+1)
1 =
y1 −
(
a12x
(k)
2 + · · ·+ a1nx
(k)
n
)
a11
(4.183)
x
(k+1)
2 =
y2 −
(
a21x
(k)
1 + a23x
(k)
3 + · · ·+ a2nx
(k)
n
)
a22
(4.184)
... (4.185)
x(k+1)
n =
y2 −
(
an1x
(k)
1 + · · ·+ an,n−2x
(k)
n−2 + an,n−1x
(k)
n−1
)
ann
(4.186)
Em notação mais compacta, o método de Jacobi consiste na iteração
x(1) = aproximação inicial (4.187)
x
(k+1)
i =
yi − n∑
j=1
j 6=i
aijx
(k)
j
 /aii (4.188)
Exemplo 4.7.1. Resolva o sistema
10x+ y = 23 (4.189)
x+ 8y = 26 (4.190)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
	Solução de sistemas lineares
	Métodos iterativos para sistemas lineares
	Método de Jacobi