Sejam n ≥ 1 um inteiro e a > 0 um n´ umero real. Sabendo que a ≤ xn ≤ nk para todo n, prove que lim n √ xn = 1.

Podemos provar que lim n √ xn = 1 usando o Teorema do Sanduíche. Sabemos que a ≤ xn ≤ nk para todo n. Podemos elevar ao quadrado a desigualdade para obter a² ≤ x²n ≤ n²k². Dividindo tudo por n²k², temos a²/n²k² ≤ x²n/n²k² ≤ 1. Tomando a raiz quadrada de tudo, temos a/nk ≤ √ xn/nk ≤ 1/nk. Como lim n a/nk = lim n 1/nk = 0, pelo Teorema do Sanduíche, temos que lim n √ xn = 1.