1 - As funções delimitam os espaços que serão analisados pelo conceito de integral. Desse modo, calcule a área da região limitada pelas funções y =...

Para calcular a área da região limitada pelas funções y = x, y = 3x e x + y = 4, podemos utilizar o método de integração por substituição. Primeiro, encontramos os pontos de interseção das funções: y = x y = 3x x + y = 4 Substituindo y por x na terceira equação, temos: x + x = 4 2x = 4 x = 2 Substituindo x por 2 nas duas primeiras equações, temos: y = 2 y = 6 Agora, podemos calcular a área da região limitada pelas funções utilizando a integral dupla: ∬R dA = ∫[2,4] ∫[x/3,4-x] dy dx Resolvendo a integral, temos: ∬R dA = ∫[2,4] (4/3)x - (1/3)x^2 dx ∬R dA = [(2/3)x^2 - (1/9)x^3] [2,4] ∬R dA = (16/3) - (32/27) ∬R dA = 38/9 Portanto, a área da região limitada pelas funções é 38/9. A alternativa correta é a letra D.