3. Considere a função f : R2 → R2 definida da seguinte forma: f (x, y) = ( f1 (x, y) , f2 (x, y)) , onde f1 (x, y) =  x+ sin(xy3) x2+y2 , (x,...

a. Para calcular ∇f1(0,0), precisamos calcular as derivadas parciais de f1 em relação a x e y e avaliá-las em (0,0). Temos: ∂f1/∂x = 1 + cos(0)·y^3 + sin(0)·3xy^2 = 1 ∂f1/∂y = cos(0)·x·3y^2 + sin(0)·x^2·2y - 2y/(x^2+y^2) = 0 Portanto, ∇f1(0,0) = (1,0). b. Para mostrar que f1 é diferenciável em (0,0), precisamos mostrar que existe uma matriz A tal que: lim (x,y)→(0,0) [f1(x,y) - f1(0,0) - A·(x,y)] / ||(x,y)|| = 0 Usando a definição de f1 e a observação dada, temos: |f1(x,y) - f1(0,0) - A·(x,y)| = |sin(xy^3)|·||(x,y)|| ≤ ||(x,y)||^2 Portanto, podemos escolher A = (1,0) e a condição acima é satisfeita. Logo, f1 é diferenciável em (0,0). c. Para que f seja diferenciável em R^2, é necessário que f1 e f2 sejam diferenciáveis em R^2. Já mostramos que f1 é diferenciável em (0,0), mas f2 não é diferenciável em (0,0) pois a derivada parcial em relação a y não existe nesse ponto. Portanto, f não é diferenciável em R^2. No entanto, f é contínua em R^2 pois f1 e f2 são funções contínuas em R^2. d. A derivada direcional de f no ponto (0,0) segundo o vetor u = (u1,u2) é dada por: Duf(0,0) = lim h→0 [f(uh) - f(0,0)] / h Se u ≠ (0,0), podemos escrever u = (cosθ, sinθ) para algum θ ∈ [0,2π). Então, temos: Duf(0,0) = lim h→0 [(f1(uh) - f1(0,0))cosθ + (f2(uh) - f2(0,0))sinθ] / h Usando a definição de f1 e f2, temos: Duf(0,0) = lim h→0 [(sin(uh1·uh2^3) - uh1)cosθ + (uh1^2·uh2 - 5uh2)sinθ] / h Se u1 = 0, então Duf(0,0) = lim h→0 [-5uh2sinθ] / h = 0. Se u1 ≠ 0, podemos escrever u = (1,tanφ) para algum φ ∈ (-π/2,π/2). Então, temos: Duf(0,0) = lim h→0 [(sin(h·tanφ·h^3) - h)cosφ + (h^2·tanφ - 5h)sinφ] / h Usando a observação dada, temos: |sin(h·tanφ·h^3) - h| ≤ |h·tanφ·h^3| = |h|^4·|tanφ| Portanto, podemos escrever: Duf(0,0) = lim h→0 [h^4·tanφ·cosφ + h^3·(h^2·tanφ - 5)sinφ] / h = 0 Logo, a derivada direcional de f no ponto (0,0) existe para todo vetor u ≠ (0,0). e. Para calcular f'(2,1)(0,0), precisamos calcular a matriz Jacobiana de f em (0,0) e avaliá-la em (2,1). Temos: Jf(x,y) = [∂f1/∂x ∂f1/∂y] [∂f2/∂x ∂f2/∂y] Calculando as derivadas parciais, temos: ∂f1/∂x = 1 + cos(xy^3)·y^3 + sin(xy^3)·3xy^2 ∂f1/∂y = cos(xy^3)·x·3y^2 + sin(xy^3)·x^2·2y - 2y/(x^2+y^2) ∂f2/∂x = 2xy^2 ∂f2/∂y = x^2 - 5 Avaliando em (0,0), temos: Jf(0,0) = [1 0] [0 -5] Portanto, f'(2,1)(0,0) = Jf(0,0)·(2,1) = (2,0).