Considere os vectores v1 = (2,−3, 1) , v2 = (0, 1, 2) e v3 = (1, 1,−2) de R3 . (a) Mostre que os vectores v1, v2 e v3 constituem uma base de R3 . (...

(a) Para mostrar que os vetores v1, v2 e v3 constituem uma base de R3, precisamos verificar se eles são linearmente independentes e se geram todo o espaço R3. Para verificar a linearmente independência, podemos montar um sistema linear com os vetores e verificar se a única solução é a trivial (0, 0, 0): | 2 0 1 | | x1 | | 0 | |-3 1 1 | x | x2 | = | 0 | | 1 2 -2 | | x3 | | 0 | Resolvendo esse sistema, encontramos que x1 = 1, x2 = 1 e x3 = -1. Como a única solução é a trivial, os vetores são linearmente independentes. Para verificar se geram todo o espaço R3, podemos montar um sistema linear com os vetores e um vetor genérico (x, y, z) e verificar se é possível encontrar solução para esse sistema: | 2 0 1 | | a | | x | |-3 1 1 | x | b | = | y | | 1 2 -2 | | c | | z | Resolvendo esse sistema, encontramos que a = 2x - y + z, b = x + y + 2z e c = -x + 2y - 2z. Como é possível encontrar solução para qualquer vetor (x, y, z), os vetores v1, v2 e v3 geram todo o espaço R3. Portanto, os vetores v1, v2 e v3 constituem uma base de R3. (b) Para determinar as coordenadas do vetor (3, 2, 1) em relação à base {v1, v2, v3}, precisamos encontrar os escalares x1, x2 e x3 tais que: x1 * v1 + x2 * v2 + x3 * v3 = (3, 2, 1) Montando um sistema linear com essa equação, temos: | 2 0 1 | | x1 | | 3 | |-3 1 1 | x | x2 | = | 2 | | 1 2 -2 | | x3 | | 1 | Resolvendo esse sistema, encontramos que x1 = 1, x2 = 1 e x3 = -1. Portanto, as coordenadas do vetor (3, 2, 1) em relação à base {v1, v2, v3} são (1, 1, -1).