Álgebra Linear: Espaços e Subespaços

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Ciclo de Oficinas:
Álgebra Linear
Álgebra Linear é um ramo da matemática que promove o estudo detalhado de equações lineares,
utilizando conceitos de vetores, espaços vetoriais, matrizes e sistemas. Neste resumo vamos falar
um pouco de Espaços Vetoriais, Subespaços Vetoriais e Transformações lineares.
Antes de darmos início lembremos algumas propriedades vetoriais:
- Dados três vetores , , tais que:𝑢 
→
𝑣
→
𝑤
→
Espaços Vetoriais -
Um Espaço Vetorial Real é um conjunto não vazio, munido de duas operações: Soma e𝑉𝑥𝑉→𝑉
multiplicação por escalar tais que e as propriedades vetoriais𝑅𝑥𝑉→𝑉 ∀ 𝑢
→
, 𝑣, 
→
𝑤 
→
∈ 𝑉 𝑘, 𝐼 ∈ 𝑅
mostradas anteriormente são satisfeitas.
Exemplo:
O conjunto com a adição de matrizes e multiplicação por escalares definidos de maneira𝑀
𝑛
×𝑛(𝑅)
usuais e um espaço vetorial.
Subespaços Vetoriais -
Dado um espaço vetorial , um subconjunto e um Subespaço Vetorial se:𝑉 𝑊 = ∅ 𝑑𝑒 𝑉
𝑖( )∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 ;
;(𝑖𝑖) ∀𝑎 ∈ 𝑅 𝑒 ∀𝑣 ∈ 𝑊 → 𝑎𝑣 ∈ 𝑊
Observação MUITO IMPORTANTE: Todo espaço vetorial possui pelo menos dois subespaços𝑉
vetoriais, que são os conjuntos e próprio espaço .{ 0
→
 } 𝑉
Exemplo:
Seja 𝑉 = 𝑅2 𝑒 𝑊 = {(𝑥, 𝑥2) | 𝑥 ∈ 𝑅}.
Apesar do vetor nulo , observe que: ,(0, 0) ∈ 𝑊 𝑢 = (1, 1) ∈ 𝑊
, mas Logo W não é subespaço de .𝑣 = 2, 4( ) ∈ 𝑊 𝑢 + 𝑣 = (3, 5) ∉ 𝑊 (5 ≠32). 𝑉
Interseção de Subespaços Vetoriais:
Dados e subespaços vetoriais de um espaço , o conjunto também é subespaço𝑊
1
𝑊
2
𝑉 𝑊
1
 ∩ 𝑊
2
vetorial de .𝑉
Soma de Subespaços:
Sejam e dois subespaços de um espaço vetorial . Então o conjunto𝑊
1
𝑊
2
𝑉
é subespaço de .𝑊
1
 + 𝑊
2
 = {𝑤
1
 + 𝑤
2
 ∈ 𝑉 | 𝑤1 ∈ 𝑊1, 𝑤2 ∈ 𝑊2} 𝑉
Exemplo:
Seja Então,𝑉 = 𝑅2, 𝑊
1
 = {(𝑥
1
, 2𝑥
1
) | 𝑥
1
 ∈ 𝑅} 𝑒 𝑊
2
 = {(𝑥
2
, 𝑥
2
) | 𝑥
2
 ∈ 𝑅}.
W1 + W2 = {(x1 + x2, 2x1 + x2) | x1, x2 ∈ R}.
Combinações Lineares:
Sejam V um espa ̧co vetorial, Então, o vetor𝑣
1
, 𝑣
2
, . . . , 𝑣
𝑛
∈ 𝑉 𝑒 𝑎
1
, 𝑎
2
, . . . , 𝑎
𝑛
 ∈ 𝑅.
é um elemento de chamado de uma combinação linear de𝑣 = 𝑎
1
𝑣
1
 + 𝑎
2
𝑣
2
 + · · · + 𝑎
𝑛
𝑣
𝑛
𝑉
𝑣
1
, . . . , 𝑣
𝑛
.
Exemplo:
Sejam . O vetor é uma𝑉 = 𝑅3, 𝑢 = (1, 1, 1), 𝑣 = (1, 0, − 1) ∈ 𝑅3 𝑤 = (1, 2, 3)
combinação linear de e , pois𝑢 𝑣 (1, 2, 3) = 2 · (1, 1, 1) − 1 · (1, 0, − 1).
Subespaços Gerados:
Fixados vetores de um mesmo espaço vetorial , o conjunto de todas as combinações lineares𝑉
destes vetores é um subespaço vetorial de , chamado de subespaço gerado por e𝑉 𝑣
1
, 𝑣
2
 . . . , 𝑣
𝑛
denotado por (outro modo de escrever é . Escrevendo de outra〈𝑣
1
, 𝑣
2
 . . . , 𝑣
𝑛
〉 [𝑣
1
, 𝑣
2
, . . . , 𝑣
𝑛
]
forma: O〈𝑣
1
, 𝑣
2
 . . . , 𝑣
𝑛
〉 = {𝑎
1
𝑣
1
+ 𝑎
2
𝑣
2
 + · · · + 𝑎
2
𝑣
𝑛
 | 𝑎
𝑖
 ∈ 𝑅, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛}
conjunto é chamado de conjunto gerador deste subespaço.{𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} 
Exemplo:
Sejam e .𝑉 = 𝑅2, 𝑒
1
= (1, 0) 𝑒
2
 = (0, 1)
Note que =𝑊 = 〈𝑒
1
, 𝑒
2
〉 = {𝑥(1, 0) + 𝑦(0, 1) | 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} {(𝑥, 𝑦) | 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} = 𝑅2
Dependência e Independência Linear:
Sejam um espaço vetorial e e V. Dizemos que o conjunto é Linearmente𝑉 𝑣
1
,..., 𝑣
2
𝑣
1
,..., 𝑣
2
Independente (LI) se a seguinte equação for satisfeita: 𝑎
1
𝑣
1
+... + 𝑎
𝑛
𝑣
𝑛
= 0 
Caso contrário o vetor é Linearmente Dependente(LD).
Exemplo:
Para . Sejam . Os vetores e são Li?𝑉 = 𝑅2 𝑒
1
= (1, 0) 𝑒 𝑒
2
= (0, 1) 𝑒
1
𝑒
2
e são LI de fato, pois𝑒
1
 𝑒
2
𝑎
1
𝑒
1
 + 𝑎
2
𝑒
2
 = 0
𝑎
1
(1, 0) + 𝑎
2
(0, 1) = (0, 0)
(𝑎
1
, 0) + (0, 𝑎
2
) = (0, 0)
(𝑎
1
, 𝑎
2
) = (0, 0),
Logo 𝑎
1
= 𝑎
2
= 0.
Base de um Espaço Vetorial:
Sejam a , vetores não nulos que geram um espaço vetorial,𝑣
1
,..., 𝑣
𝑛
∈ 𝑉
Um conjunto de vetores de será uma base de V se:{𝑣
1
,..., 𝑣
𝑛
} 𝑉
i) é LI{𝑣
1
, ..., 𝑣
𝑛
} 
ii) [𝑣
1
, ..., 𝑣
𝑛
] = 𝑉
Exemplo:
Sejam e , o conjunto formado por esses dois vetores será uma base de ?𝑒
1
= (1, 1) 𝑒
2
= (0, 1) 𝑅2
i)
𝑎(1, 1) + 𝑏(0, 1) = (0, 0)
Ou seja, (𝑎, 𝑎 + 𝑏) = (0, 0).
Logo e . Portanto é LI.𝑎 = 0 𝑏 = 0 {(1, 1), (0, 1)}
ii)
(𝑥, 𝑦) = 𝑎(1, 1) + 𝑏(0, 1)
Ou seja, . Logo devemos garantir que o sistema abaixo tem solução(𝑥, 𝑦) = (𝑎, 𝑎 + 𝑏)
{𝑎 = 𝑥 𝑎 + 𝑏 = 𝑦 
e . Isto é𝑎 = 𝑥 𝑏 = 𝑦 − 𝑥
(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1, 1) + (𝑦 − 𝑥)(0, 1)
𝑥, 𝑦( ) = (𝑥, 𝑥)
Assim e é uma base de .𝑒
1
𝑒
2
𝑉
Dimensão de um espaço vetorial:
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número de
elementos é chamado por de , escrito como𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑉 𝑑𝑖𝑚𝑉.
Exemplo:
Como vimos no exemplo anterior, o conjunto formado por e , é uma base de𝑒
1
= (1, 1) 𝑒
2
= (0, 1)
. Então a𝑉 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 2.
Mudança de Base:
Dada uma base qualquer de , cada vetor de é escrito como uma única combinaçãoβ = 𝑣
1
,.., 𝑣
𝑛{ } 𝑉 𝑉
linear de 𝑣
1,
, …, 𝑣
𝑛.
Sejam base de e ∈ onde .β = {𝑣
1
, ..., 𝑣
2
} 𝑉 𝑣 𝑉 𝑣 = 𝑎
1
𝑣
1
 + ... + 𝑎
𝑛
𝑣
𝑛
Chamamos os números de coordenadas de em relação a base e denotamos por𝑎
1
, ..., 𝑎
𝑛
𝑉 β
[𝑣]
β
= 𝑎
1
 : 𝑎
𝑛
 [ ]
Exemplo 1:
Seja . Considere a base de . Ache para (4,3).𝑉 = 𝑅2 β´ = 1, 1( ), (0, 1){ } 𝑅2 [𝑣]
β´
4, 3( ) = 4 1, 0( ) + 3(0, 1)
Portando
[4, 3]
β´
= 4 3 [ ]
Sejam e duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial .β = {𝑢
1
, …, 𝑢
𝑛
} β´ = 𝑤
1
,.., 𝑤
𝑛{ } 𝑉
Pela definição anterior podemos escrever os vetores como combinação linear dos , de tal forma𝑤
𝑖
𝑢
𝑖
que obtemos:
Logo,
Fazendo as devidas substituições e colocando em forma matricial obtemos,
A primeira matriz do lado direito da igualdade é chamada de matriz mudança de base de paraβ´ β
denotada por ,[𝐼]
β
β´
Escrevendo de forma mais enxuta temos,
Exemplo 2:
Sejam e bases de , encontre:β = { 2, − 1( ), (3, 4)} β´ = 1, 0( ), (0, 1){ } 𝑅2
1. [𝐼]
β
β´
{𝑤
1
= 1, 0( ) = 𝑎
11
2, − 1( ) + 𝑎
21
(3, 4) 𝑤
2
= 0, 1( ) = 𝑎
12
(2, − 1) + 𝑎
22
(3, 4) 
Objetivando determinar fazemos𝑎
𝑖𝑗
{1 = 2𝑎
11
+ 3𝑎
21
 0 =− 𝑎
11
+ 4𝑎
21
 
De onde temos ,𝑎
11
= 4
11 𝑎
21
= 1
11
{1 = 2𝑎
11
+ 3𝑎
21
 0 =− 𝑎
11
+ 4𝑎
22
 
De onde temos ,𝑎
12
=− 3
11 𝑎
22
= 2
11
E agora podemos montar a matriz
[𝐼]
β
β´ 4
11 − 3
11 1
11 2
11 ⎡⎣ ⎤⎦
2. Ache , tal que[𝑣]
β
𝑣 = (5, − 8)
[5, − 8]
β
= 4
11 − 3
11 1
11 2
11 ⎡⎣ ⎤⎦. 5 − 8 [ ]
= 4 − 1 [ ]
Transformações Lineares:
Sejam e dois espaços vetoriais. Se houver uma função aplicada de em , que satisfizer as𝑉 𝑊 𝑉 𝑊
seguintes condições essa função e uma Transformação Linear:
(i) Quaisquer que sejam e em𝑢 𝑣 𝑉,
𝐹(𝑢 + 𝑣) = 𝐹(𝑢) + 𝐹(𝑣)
(ii) Quaisquer que sejam 𝑘 ∈ 𝑅 𝑒 𝑣 ∈ 𝑉,
𝐹(𝑘𝑣) = 𝑘𝐹(𝑣).
é uma Transformação Linear ( ou Aplicação Linear)𝐹: 𝑉→ 𝑊
Exemplo:
Seja e , definida por . é uma𝑉 = 𝑅2 𝑊 = 𝑅3 𝐹: 𝑅2 → 𝑅3 𝐹(𝑥, 𝑦) = (2𝑥, 0, 𝑥 + 𝑦) 𝐹 𝑥, 𝑦( )
transformação linear?
Dados e sejam e temos:𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅2 𝑢 = 𝑥
1
, 𝑦
1( ) 𝑣 = (𝑥
2
, 𝑦
2
)
i)
𝐹 𝑢 + 𝑣( ) = 𝐹( 𝑥
1
+ 𝑥
2( ), 𝑦
1
+ 𝑦
2( ))
= (2(𝑥
1
 + 𝑥
2
), 0, (𝑥
1
 + 𝑥
2
) + (𝑦
1
+ 𝑦
2
))
= (2𝑥
1
, 0, 𝑥
1
 + 𝑦
1
) + (2𝑥
2
, 0, 𝑥
2
 + 𝑦
2
)
= 𝐹(𝑢) + 𝐹(𝑣)
ii)
𝐹(𝑘𝑢) = 𝐹(𝑘(𝑥
1
, 𝑦
1
))
= 𝐹(𝑘𝑥
1
, 𝑘𝑦
1
)
= (2𝑘𝑥
1
, 0, 𝑘𝑥
1
+ 𝑘𝑦
1
)
= 𝑘(2𝑥
1
, 0, 𝑥
1
 + 𝑦
1
)
= 𝑘𝐹(𝑢)
Se for uma transformação linear então, .𝑇 : 𝑉 → 𝑊 𝑇(0) = 0
Dados dois espaços vetoriais reais e e uma base de , sejam elementos de𝑉 𝑊 𝑉, {𝑣
1
,..., 𝑣
𝑛
} 𝑤
1
,.., 𝑤
𝑛
, Então existe uma única aplicação linear tal que𝑊 𝑇(𝑣
1
) = 𝑤
1
,.., 𝑇(𝑣
𝑛
) = 𝑤
𝑛
Exemplo:
Qual é a transformação linear em que e ?𝑇: 𝑅2→ 𝑅3 𝑇(1, 1) = (3, 2, 1) 𝑇(0, − 2) = (0, 1, 0)
Se e são bases dee e as𝑣
1
= (1, 1) 𝑣
2
= (0, − 2) 𝑅2 𝑇(𝑣
1
) = (3, 2, 1) 𝑇(𝑣
2
) = (0, 1, 0)
transformações lineares que nos foi dada podemos escrever e como combinação linear de um𝑣
1
𝑣
2
vetor genérico 𝑣 = (𝑥, 𝑦)
𝑣 = 𝑥, 𝑦( ) = 𝑥 1, 1( ) + 𝑦 0, − 2( ) = 𝑥𝑣
1
+ 𝑥𝑣
2
E assim obtermos a transformação linear fazendo as devidas substituições
 𝑇(𝑣) = 𝑥𝑇(𝑣
1
) + 𝑦𝑇(𝑣
2
)
 = 𝑥(3, 2, 1) + 𝑦(0, 1, 0)
.= (3𝑥, 2𝑥 + 𝑦, 𝑥)
Imagem e núcleo de uma Transformação Linear:
Seja uma transformação linear. A imagem de é o conjunto dos vetores tais que𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑇 𝑤∈𝑊
existe um vetor , que satisfaz . Ou seja𝑣∈𝑉 𝑇 𝑣( ) = 𝑤
para algum }𝐼𝑚 𝑇( ) = {𝑤∈𝑊; 𝑇 𝑣( ) = 𝑤 𝑣∈𝑉
Obs: é um subespaço de .𝐼𝑚 𝑇( ) 𝑊
Seja uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores de e tais que𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑣 𝑉
é chamado núcleo de , sendo denotado por . Ou seja𝑇(𝑣) = 0 𝑇 𝑘𝑒𝑟(𝑡)
 𝑘𝑒𝑟(𝑡) = {𝑣 𝑒 𝑉; 𝑇(𝑣) = 0).
Obs: é um subespaço de .𝑘𝑒𝑟(𝑡) ∁ 𝑉 𝑉
Exemplo:
Seja a transformação linear dada por determine𝑇: 𝑅2 → 𝑅3, (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥, 2𝑦, 0),
i) .𝐼𝑚(𝑇)
𝐼𝑚(𝑇) = {(𝑥, 2𝑦, 0); 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑅}
 = {𝑥(1, 0, 0), (0, 2, 0)}
 = (1, 0, 0), (0, 2, 0) 
𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 2
ii) 𝑘𝑒𝑟(𝑇).
𝑘𝑒𝑟(𝑇) = {(𝑥, 𝑦, 𝑥); 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0)}
 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); (𝑥, 2𝑦, 0) = (0, 0, 0)}
 = {(0, 0, 𝑧); 𝑧 𝑒𝑅}
 = {𝑧(0, 0, 1); 𝑧 𝑒𝑅}
 = [(0, 0, 1)].
𝑑𝑖𝑚𝑘𝑒𝑟(𝑇) = 1
Vale ressaltar que o z aparece como variável livre na transformação, ou seja ele estará presente no
núcleo.
Transformações Lineares Injetoras e Sobrejetoras:
Dada uma aplicação (ou uma função) , diremos que é se dados𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑇 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑡𝑜𝑟𝑎 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
com tivermos . Ou se forma equivalente se nas mesmas condições anteriores𝑇(𝑢) = 𝑇(𝑣) 𝑢 = 𝑣
tivermos𝑢 ≠ 𝑣 𝑇(𝑢) ≠ 𝑇(𝑣).
De forma mais simples é se as imagens de vetores distintos são distintas.𝑇 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑡𝑜𝑟𝑎
será se dado , existir e tal que .𝑇 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑗𝑒𝑡𝑜𝑟𝑎 𝑤 ∈ 𝑊 𝑣 𝑉 𝑇(𝑣) = 𝑤
Seja , uma aplicação linear. Então , se e somente se é𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑘𝑒𝑟 𝑇( ) = {0} 𝑇 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑡𝑜𝑟𝑎.
Importante!!: Seja , uma aplicação linear. Então𝑇: 𝑉 → 𝑊
𝑑𝑖𝑚𝑘𝑒𝑟𝑇 + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝑇 = 𝑑𝑖𝑚𝑉.
Exemplo: Seja a transformação linear dada por é𝑇: 𝑅3 → 𝑅2, 𝑥, 𝑦, 𝑧( ) → 𝑥 − 2𝑦, 𝑧, 𝑥 + 𝑦( ). 𝑇
injetora?
Sem podemos fazer𝑢 = 𝑥, 𝑦, 𝑧( ), 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)∈𝑅3
𝑇 𝑢( ) = 𝑇 𝑣( ) → 𝑥 − 2𝑦, 𝑧, 𝑥 + 𝑦( ) = (𝑎 − 2𝑏, 𝑐, 𝑎 + 𝑏)
Resolvendo o sistema obtido através dessa igualdade obtemos 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏, 𝑧 = 𝑐→𝑢 = 𝑣
provando assim que é injetora.𝑇
Transformações Lineares e Matrizes:
Dadas duas bases e de e respectivamente, e uma matriz , podemos obter umaβ β´ 𝑉 𝑊 𝐴
transformação linear.
Exemplo: Dadas as bases em , e e uma matriz𝑅2 β = { 1, 0( ), 0, 1( )} β´ = { 1, 1( ), − 1, 1( )}
. Associe uma transformação linear de a matriz e as bases e .𝐴 = 3 1 0 1 [ ] 𝑇𝐴: 𝑅2 → 𝑅2 𝐴 β β´
Para começarmos, precisamos fazer a seguinte relação e outra do seguinte modo𝑣 = (𝑥, 𝑦)∈𝑅2
Munido dessas relações podemos seguir fazendo,𝑋 = [𝑣]
β
= 𝑥 𝑦 [ ].
assim𝐴𝑋 = [𝑇
𝐴
𝑣( )]
β´
→ 3 1 0 1 [ ] 𝑥 𝑦 [ ] = 3𝑥 + 𝑦 𝑦 [ ]
𝑇
𝐴
𝑣( ) = 3𝑥 + 𝑦( ) 1, 1( ) + 𝑦 − 1, 1( ) = (3𝑥, 3𝑥 + 2𝑦)
Referências:
BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L. & WETZLER, H. G. Álgebra Linear. 3ª.
ed. São Paulo: Editora Harbra, 1980.