1) As três equações 2cos(x) + y^2 - z^2 = 0, x^2 + 2y^2 - z^2 = 0, cos(z) = 0 definem x, y e z como função de u e v. Determine, usando o Teorema da...

Para resolver esse problema, podemos usar o Teorema da Função Implícita. Primeiro, vamos escrever as três equações na forma de função: f1(x,y,z,u,v) = 2cos(x) + y^2 - z^2 = 0 f2(x,y,z,u,v) = x^2 + 2y^2 - z^2 = 0 f3(x,y,z,u,v) = cos(z) = 0 Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f1, f2 e f3 em relação a x, y e z: ∂f1/∂x = -2sen(x) ∂f1/∂y = 2y ∂f1/∂z = -2z ∂f2/∂x = 2x ∂f2/∂y = 4y ∂f2/∂z = -2z ∂f3/∂z = -sen(z) Em seguida, vamos calcular o determinante da matriz jacobiana: J = [∂f1/∂x ∂f1/∂y ∂f1/∂z; ∂f2/∂x ∂f2/∂y ∂f2/∂z; 0 0 ∂f3/∂z] J = [-2sen(x) 2y -2z; 2x 4y -2z; 0 0 -sen(z)] J = 4zsen(x) Agora, vamos calcular as derivadas de x em relação a u e v: x(u,v) = 1 ∂x/∂u = 0 ∂x/∂v = 0 Finalmente, vamos calcular as derivadas de y e z em relação a u e v usando o Teorema da Função Implícita: x(u,v) = 1 y(u,v) = 1 z(u,v) = 0 x - y^2 + z^2 = -1 ∂z/∂u = -[(∂f1/∂x)(∂y/∂u) + (∂f1/∂y)(∂y/∂u) + (∂f1/∂z)(∂z/∂u) + (∂f1/∂u)] / (∂f1/∂z) = -[(-2sen(x))(0) + (2y)(0) + (-2z)(1) + (0)] / (-2z) = 1 ∂z/∂v = -[(∂f1/∂x)(∂y/∂v) + (∂f1/∂y)(∂y/∂v) + (∂f1/∂z)(∂z/∂v) + (∂f1/∂v)] / (∂f1/∂z) = -[(-2sen(x))(0) + (2y)(0) + (-2z)(0) + (0)] / (-2z) = 0 ∂y/∂u = -[(∂f1/∂x)(∂z/∂u) + (∂f1/∂y)(∂z/∂u) + (∂f1/∂z)(∂z/∂u) + (∂f1/∂u)] / (∂f1/∂y) = -[(-2sen(x))(0) + (2y)(0) + (-2z)(1) + (0)] / (2y) = -1 ∂y/∂v = -[(∂f1/∂x)(∂z/∂v) + (∂f1/∂y)(∂z/∂v) + (∂f1/∂z)(∂z/∂v) + (∂f1/∂v)] / (∂f1/∂y) = -[(-2sen(x))(0) + (2y)(0) + (-2z)(0) + (0)] / (2y) = 0 Portanto, as derivadas xu∂/∂ e xv∂/∂ em x = y = 1, u = 2π, v = 0, z = 0 são: xu∂/∂ = 0 xv∂/∂ = 0 yu∂/∂ = -1 yv∂/∂ = 0 zu∂/∂ = 0 zv∂/∂ = 1