Encontre o volume da região cortada da esfera sólida ρ ≤ a pelos semi-planos Θ = 0 e Θ = Π 6 no 1o octante.
V = ∫ π 6 0 ∫ π 2 0 ∫ a 0 ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ 2π 0 ∫ π 3 0 ∫ 2 secφ ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ 2π 0 ∫ π 3 0 ∫ 2 secφ 3ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ 2π 0 ∫ π 4 0 ∫ secφ 0 (ρcosφ)ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ π 6 0 ∫ π 2 0 ∫ a 0 ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ 2π 0 ∫ π 4 0 ∫ secφ 0 (ρcosφ)ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ π 6 0 ∫ π 2 0 ∫ a 0 ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ 2π 0 ∫ π 3 0 ∫ 2 secφ ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ 2π 0 ∫ π 3 0 ∫ 2 secφ 3ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ 2π 0 ∫ π 4 0 ∫ secφ 0 (ρcosφ)ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ π 6 0 ∫ π 2 0 ∫ a 0 ρ2senφ dρdφdΘ
V = ∫ 2π 0 ∫ π 4 0 ∫ secφ 0 (ρcosφ)ρ2senφ dρdφdΘ
Respostas
Ed 
há 2 anos
Podemos encontrar o volume da região cortada da esfera sólida ρ ≤ a pelos semi-planos Θ = 0 e Θ = Π/6 no 1º octante utilizando a integral tripla abaixo: V = ∫(π/6)^(0) ∫(π/2)^(0) ∫(a)^(0) ρ²senφ dρdφdΘ Resolvendo a integral, temos: V = [a³/3 - a³/(3√2)]/2 Portanto, o volume da região cortada da esfera sólida é [a³/3 - a³/(3√2)]/2.
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Seja B a bola fechada x2 + y2 + z2 ≤ 4. (a) Provar por meio de Mudança de Variáveis que ∫ ∫ B ∫ e3x2+xdV = ∫ ∫ B ∫ e3z2+zdV (b) Calcular ∫ ∫ B ∫ ex2 + ex2+3z3 dV ∫ ∫ B ∫ ey2 + ez2+3y3dV Solução . As coordenadas no espaço R 3 podem ser dadas pelas variáveis (x, y, z) ou pelas variáveis (u, v, w). (a) Consideramos a mudança de variáveis dada por u = z v = y w = x Observamos que a mudança de variáveis dada transforma a a bola fechada x2 + y2 + z2 ≤ 4 na bola fechada u2 + v2 + w2 ≤ 4. Além disso, | ∂(x,y,z) ∂(u,v,w) | = 1. Logo, ∫ ∫ B ∫ e3x2+xdV = ∫ ∫ B ∫ e3w2+wdudvdw = ∫ ∫ B ∫ e3w2+wdV = ∫ ∫ B ∫ e3z2+zdV (b) Sejam as transformações inversas T−1 1 dada por u = y v = x w = z e T−1 2 dada por u = y v = z w = x Observamos que as duas transformações T1 e T2 levam a bola fechada B na bola fechada B. Além disso, ambos os módulos dos Jacobianos de T1 e T2 são igual a 1. Logo, como acima, temos ∫ ∫ B ∫ ex2 dV = ∫ ∫ B ∫ ey2 dV e ∫ ∫ B ∫ ex2+3z3 dV = ∫ ∫ B ∫ ez2+3y3 dV Logo, ∫ ∫ B ∫ ex2 + ex2+3z3 dV ∫ ∫ B ∫ ey2 + ez2+3y3dV = 1
Calcule o volume dado por ∫ 1 0 ∫ 2 1 yexy dxdy : Solução . V = ∫ 1 0 ∫ 2 1 yexydx dxdy = ∫ 1 0 β(x) dy Onde β(x) = ∫ 2 1 yexy dx Tome u = xy → du = ydx x = 1; u = y x = 2; u = 2y β(u) = ∫ 2y y eudu = eu ∣ ∣2y y = e2y − ey Logo, V = ∫ 1 0 β(x) dy = ∫ 1 0 (e2y − ey) dy = [ 1 2 e2y − ey ]1 0 = [ 1 2 e2 − e ] − [ 1 2 e0 − e0 ] = 1 2 (e − 1)2
Calcule o volume dado por ∫ ∫ B 1 ln y dB e B = {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 1 y} Solução . Temos, V = ∫ 3 2 ∫ 1 y 0 1 ln y dxdy = ∫ 3 2 [ x ln y ] 1 y 0 dy = ∫ 3 2 1 y ln y dy Tome u = ln y → du = 1 y dy y = 2; u = ln 2 y = 3; u = ln 3 Então , V = ∫ ln 3 ln 2 1 u du = [lnu] ln 3 ln 2 = ln (ln 3) − ln (ln 2)
Calcule o centro massa do sólido cuja densidade é dada pela função δ(x, y) = y e B é a região dada pelo quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
Calcule o centro de massa onde a região é dada por B = {(x, y) ∈ R2 |x2 +4y2 ≤ 1, y ≥ 0} e a densidade é proporcional a do ponto ao eixo x.
192. Calcule a integral iterada ∫ 4 2 ∫ 1 -1 (x2 + y2)dxdy Solução . ∫ 4 2 [(x2 + 1 3 ) − (−x2 − 1 3 )]dx = ∫ 4 2 (2x2 + 2 3 )dx = [ 2 3 x3]42 = (128 3 + 8 3 ) − ( 16 3 + 4 3 ) = 116 3
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