Questão 09. Determine a derivada direcional da função z = 2x 2 + y 2 – 3z 2 , no ponto P(1,2,3) na direção da reta determinada pelos pontos P(1,2,3...

Para determinar a derivada direcional da função z = 2x² + y² - 3z² no ponto P(1,2,3) na direção da reta determinada pelos pontos P(1,2,3) e Q(3,5,1) no sentido de P para Q, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor diretor da reta que passa pelos pontos P e Q: v = Q - P = (3-1, 5-2, 1-3) = (2, 3, -2) 2. Normalizar o vetor v: ||v|| = sqrt(2² + 3² + (-2)²) = sqrt(17) v' = v/||v|| = (2/sqrt(17), 3/sqrt(17), -2/sqrt(17)) 3. Calcular o gradiente da função z no ponto P: grad(z) = (4x, 2y, -6z) => grad(z)(P) = (4, 4, -18) 4. Calcular a derivada direcional: Dv(z) = grad(z)(P) . v' Dv(z) = (4, 4, -18) . (2/sqrt(17), 3/sqrt(17), -2/sqrt(17)) Dv(z) = (8 + 12 - 36)/sqrt(17) Dv(z) = -16/sqrt(17) Portanto, a derivada direcional da função z = 2x² + y² - 3z² no ponto P(1,2,3) na direção da reta determinada pelos pontos P(1,2,3) e Q(3,5,1) no sentido de P para Q é igual a -16/sqrt(17).