Determine, resolvendo passo a passo cada esquação diferencial nas alineas a) e b) e na alinea c) resolva a equação que satisfaça a condição inicial...

a) y' - (4/x)y = 5/x Primeiro, vamos encontrar o fator integrante (FI): μ(x) = e^∫(-4/x)dx μ(x) = e^(-4ln|x|) μ(x) = e^ln(x^-4) μ(x) = 1/x^4 Multiplicando ambos os lados da equação pelo FI, temos: 1/x^4 * y' - 4/x^5 * y = 5/x^5 Aplicando a regra do produto na primeira parcela do lado esquerdo, temos: d/dx (1/x^4 * y) = 5/x^5 Integrando ambos os lados em relação a x, temos: 1/x^4 * y = ∫5/x^5 dx 1/x^4 * y = -1/(4x^4) + C Multiplicando ambos os lados por x^4, temos: y = -x^4/(4x) + Cx^4 y = -x^3/4 + Cx^4 b) dr/dθ + r.cotgθ = cossecθ Primeiro, vamos dividir ambos os lados por r, temos: 1/r * dr/dθ + cotgθ = cosecθ/r Agora, vamos encontrar o FI: μ(θ) = e^∫cotgθ dθ μ(θ) = e^ln|senθ| μ(θ) = senθ Multiplicando ambos os lados da equação pelo FI, temos: senθ * 1/r * dr/dθ + senθ * cotgθ = senθ * cosecθ/r Aplicando a regra do produto na primeira parcela do lado esquerdo, temos: d/dθ (senθ * 1/r) = senθ * cosecθ Integrando ambos os lados em relação a θ, temos: senθ * 1/r = -ln|cosθ| + C Multiplicando ambos os lados por r, temos: 1 = -r.ln|cosθ| + Cr Resolvendo para r, temos: r = e^(C/ln|cosθ|) c) xy' + y = -6x ; y(1) = 4 Primeiro, vamos dividir ambos os lados por x, temos: y' + y/x = -6 Agora, vamos encontrar o FI: μ(x) = e^∫(1/x)dx μ(x) = e^ln|x| μ(x) = |x| Multiplicando ambos os lados da equação pelo FI, temos: |x| * y' + y = -6|x| Para resolver a equação, vamos separar as variáveis: |x| * y' = -y - 6|x| y' = (-y - 6|x|)/|x| Agora, vamos resolver a equação diferencial homogênea: dy/dx + y/x = 0 Primeiro, vamos encontrar o FI: μ(x) = e^∫(1/x)dx μ(x) = e^ln|x| μ(x) = |x| Multiplicando ambos os lados da equação pelo FI, temos: |x| * dy/dx + y = 0 Para resolver a equação, vamos separar as variáveis: |x| * dy/dx = -y dy/y = -dx/|x| Integrando ambos os lados em relação a x, temos: ln|y| = -ln|x| + C y = C/x Agora, vamos encontrar a solução particular: y = v(x) * u(x) y' = v'(x) * u(x) + v(x) * u'(x) Substituindo na equação diferencial original, temos: |x| * (v'(x) * u(x) + v(x) * u'(x)) + v(x) * u(x) = -6|x| v'(x) * u(x) = -6 Integrando ambos os lados em relação a x, temos: v(x) = -6ln|x| + C Substituindo na solução particular, temos: y = (-6ln|x| + C)/x Agora, vamos encontrar o valor de C usando a condição inicial: y(1) = 4 (-6ln|1| + C)/1 = 4 C = 4 + 6ln|1| C = 4 Portanto, a solução da equação diferencial é: y = (-6ln|x| + 4)/x