O valor do limite \(\lim_{x \rightarrow 4}\left[\frac{x-4}{x-\sqrt{x}-2}\right]\) é:

Para resolver essa expressão, primeiro precisamos substituir o valor de \(x\) na expressão. Quando \(x\) se aproxima de 4, o denominador da fração se aproxima de 0, o que resulta em uma forma indeterminada. Portanto, podemos usar a regra de L'Hôpital para resolver essa indeterminação. Derivando o numerador e o denominador em relação a \(x\), obtemos: \[ \lim_{{x \to 4}}\left[\frac{x-4}{x-\sqrt{x}-2}\right] = \lim_{{x \to 4}}\left[\frac{1}{1-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}\right] \] Substituindo \(x = 4\) na expressão, obtemos: \[ \frac{1}{1-\frac{1}{{2\sqrt{4}}}} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \] Portanto, o valor do limite é \(\frac{4}{3}\).