14-Valor Presente Líquido e TIR-2021 4

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Matemática Financeira - Erisson M. Moreira - 14 -
 Juros Compostos - Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR)
Análise de Fluxo de Caixa
 Dos métodos e critérios de avaliação usados para medir e analisar a rentabilidade e viabilidade de uma alternativa de investimento, destacaremos o Valor Presente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa.
1. Valor Presente Líquido (VPL)
 O método do Valor Presente Líquido é um dos procedimentos mais utilizadas pelo mercado financeiro. O VPL tem por objetivo determinar o efeito dos eventos futuros medindo o valor presente dos fluxos de caixas criado pelo empreendimento ao longo do tempo. Ou seja, o VPL é igual ao valor presente de suas parcelas futuras, que são deduzidas mediante uma certa taxa de desconto. 
A expressão que define o VPL pode ser escrita como:
Em que: 
(I) representa o investimento inicial, 
(∑) é o símbolo do somatório que indica a soma da data 1 até a data (n) dos fluxos, 
(FC) mostra o Fluxo de Caixa (de pagamento) no t-ésimo período 
e (K) é a taxa de juros (custo do capital).
OBS: A norma a ser seguida, que norteará a viabilidade econômica 
para decidir sobre do projeto, é se o VPL for positivo
Exemplo 1: Se uma alternativa de investimento implica em um desembolso de R$ 100.000, que vai gerar fluxos de caixa de 45.000 por ano durante 4 anos, a um custo do capital com uma taxa k requerida de 18% a.a., então o VPL calculado seria:
Resolução: VPL = ̶ 100.000 + + + +
VPL = ̶ 100.000 + 38.135,59 + 32.318,30 + 27.388,39 + 23.210,50
VPL = - 100.000 + 121.052,78 => VPL = 21.052,78
Isso quer dizer que o VPL = 21.052,78 é positivo → (VPL > 0), mostrando a viabilidade econômica da alternativa e, consequentemente, será recuperado em quatro anos obtendo uma garantia a mais de lucro de R$ 21.052,78.
2. Taxa Interna de Retorno (TIR)
 O método da TIR é também uma ferramenta bastante utilizada e constitui-se na taxa de retorno do projeto de investimento. Por isso, a TIR não tem como objetivo a análise da rentabilidade absoluta, como no VPL, tornando a comparação de investimentos um procedimento de valor relativo.
 Matematicamente, a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é uma determinada taxa de desconto que torna nulo o seu valor presente líquido (VPL). Ou seja, é o valor da taxa (i) que satisfaz a seguinte expressão:
OBS: A norma a ser seguida, que norteará a viabilidade econômica
 para decidir sobre do projeto, é se (i) for maior do que k → i > k 
Exemplo 2: Tomando-se o mesmo exemplo 1 anterior, ou seja - Se uma alternativa de investimento de PV = R$ 100.000, com fluxos de caixa de PMT = 45.000 por ano em 4 anos, a uma taxa k = 18% a.a., então a TIR da alternativa de investimento será calculada da seguinte maneira:
Montagem da equação: VPL = ̶ 100.000 + ( + + + ) = 0
( + + + ) = 100.000
Ou, 45.000.( + + + ) = 100.000 ...
OBS: O procedimento de cálculo manual da taxa de juros numa série de pagamentos (ou recebimentos), é um processo às vezes demorado e cansativo. No entanto, as calculadoras financeiras realizam o cálculo da taxa interna de retorno de forma simples e rápida. Na falta de calculadoras, a taxa pode ser aproximada através de um processo de interpolação linear. Também existem outros métodos repetitivos que podem ser usados para calcular a TIR, como por exemplo, o método de Baily-Lenzi (Samanez, C. P. - Matemática Financeira - 4ª edição-Pearson/2007). 
Segue resoluções de alguns dos modelos existentes:
a) Pela calculadora financeira, podemos ter:
	HP-12C
	(f) (FIN) 45.000 (CHS) (PMT)
	4 (n) 100.000 (PV)
	(i) → 28,49
Logo, a TIR de 28,49% é maior que a taxa requerida (18%), mostrando a viabilidade econômica da alternativa.
b) Pelo método de Baily-Lenzi. Uma de suas equações para o cálculo da taxa de juros é:
para n x i ≤ 3 (Exemplo: para n = 4 e i = 18%a.a. => 4 x 0,18 = 0,72 , que é < 3
i = h ., em que h = ( )2/(n+1) – 1)
PV = principal
 PMT = valor da prestação
 n = número de prestações
 Exemplo 3: 
Tomando-se o mesmo exemplo 1 anterior, ou seja → PV = 100.000, PMT = 45.000, n = 4 e k = 18%a.a.
i = h .
Cálculo de (h): h = ()2/(n+1) – 1
h = ()2/(4+1) – 1 = ()2/5 – 1
h = ()0,4 – 1 = 1,26505 – 1 => h = 0,26505
Cálculo de (i): i = 0,26505 . [ ]
i = 0,26505 . [ ] = 0,26505 . [ ]
i = 0,26505 . [] = 0,26505 . 1,07639
i = 0,28530 => i = 28,53% a.a.
OBS: O valor de i = 28,53 é bem próximo (devido aos arredondamentos) 
daquele encontrado pela calculadora (28,49% a.a.)
Assim, a TIR de 28,53% é maior que a taxa requerida (18%), 
mostrando a viabilidade econômica da alternativa.
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