áreas, como na física, na engenharia, na economia, entre outras. O valor do limite \(\lim _{x \rightarrow 4 left[\frac{x-4}{x- \sqrt{x}-2}\right]\) é:

Para resolver esse limite, podemos utilizar a técnica de racionalização. Primeiro, multiplicamos o numerador e o denominador por \(x + \sqrt{x} + 2\), ficando assim: \[\lim_{x \rightarrow 4} \frac{x - 4}{x - \sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x + \sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 2}\] Simplificando, temos: \[\lim_{x \rightarrow 4} \frac{(x - 4)(x + \sqrt{x} + 2)}{(x - \sqrt{x} - 2)(x + \sqrt{x} + 2)}\] Aplicando a propriedade distributiva, temos: \[\lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^2 - 4x + x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 8}{x^2 - 4x - x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} - 4}\] Agora, podemos substituir o valor de \(x\) por \(4\), ficando assim: \[\frac{16 - 16 + 4\sqrt{4} - 4\sqrt{4} - 8}{16 - 16 - 4\sqrt{4} + 4\sqrt{4} - 4} = \frac{-8}{-4} = 2\] Portanto, o valor do limite é igual a \(2\).