Considerando as seguintes posições lógicas: Carlos estuda ou não está cansado. Se Carlos estuda, então dorme tarde. Carlos não dorme tarde ou está ...

Considerando as seguintes posições lógicas:

Carlos estuda ou não está cansado.

Se Carlos estuda, então dorme tarde.

Carlos não dorme tarde ou está cansado.

Logo: Carlos está cansado se e somente se estuda.

E nomeando as proposições como:

p: Carlos estuda.

q: Carlos está cansado.

r: Carlos dorme tarde.

Considerando, então, expressar o argumento anterior desta forma:

p v ~q, p →r, ~r v q Ⱶ q ↔ p

Qual é a demonstração CORRETA para este argumento?

C1: p v q

C2: p →r

C3: r v q

Deduz-se:

C4: q →p (C1: comutativa e equivalência)

C5: r →q (C3: equivalência)

C6: p →q (C2 + C5: silogismo hipotético)

C7: q →p ^ p →q (C4 + C6: conjunção)

C8: q ↔ p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)

C1: p v ~q

C2: p →r

C3: ~r v q

Deduz-se:

C4: q →p (C1: comutativa e equivalência)

C5: r ↔ q (C3: equivalência)

C6: p ↔ q (C2 + C5: silogismo hipotético)

C7: q →p ^ p →q (C4 + C6: conjunção)

C8: q →p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)

C1: p v ~q

C2: p →r

C3: ~r v q

Deduz-se:

C4: q →p (C1: comutativa e associativa)

C5: r →q (C3: Teorema de Morgan)

C6: p →q (C2 + C5: hipóteses simples)

C7: q →p ^ p →q (C4 + C6: conjunção)

C8: q ↔ p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)

C1: p v ~q

C2: p →r

C3: ~r v q

Deduz-se:

C4: q →p (C1: comutativa e equivalência)

C5: r →q (C3: equivalência)

C6: p →q (C2 + C5: silogismo hipotético)

C7: q →p ^ p →q (C4 + C6: conjunção)

C8: q ↔ p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)

C1: p v ~q

C2: p →r

C3: ~r v q

Deduz-se:

C4: q →p (C1: comutativa e equivalência)

C5: r →q (C3: equivalência)

C6: p →q (C2 + C5: silogismo hipotético)

C7: q →p ^ p →q (C4 + C6: conjunção)

C8: q ~p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)