Calcule a seguinte integral indefinida ∫ ∛ 7 +x^5 x^4 dx

Para calcular a integral indefinida ∫ ∛(7 + x^5) x^4 dx, podemos utilizar a substituição trigonométrica. Fazemos: 1. Substituição trigonométrica: Fazemos a substituição x = (7/(-1))^(1/5) * tan(t), ou seja, x = (-7)^(1/5) * tan(t). 2. Derivadas: Calculamos as derivadas dx/dt e x^4 em termos de t: dx/dt = (-7)^(1/5) * sec^2(t) x^4 = (-7)^(4/5) * tan^4(t) 3. Substituição na integral: Substituímos x e dx na integral original: ∫ ∛(7 + x^5) x^4 dx = ∫ (-7)^(4/5) * tan^4(t) * (-7)^(1/5) * sec^2(t) * (-7)^(1/5) * sec^3(t) dt 4. Simplificação: Simplificamos a expressão: ∫ (-7)^(4/5) * tan^4(t) * (-7)^(2/5) * sec^5(t) dt = (-7)^(6/5) * ∫ tan^4(t) sec^5(t) dt 5. Substituição: Fazemos a substituição u = sec(t) e du = sec(t) * tan(t) dt: (-7)^(6/5) * ∫ tan^4(t) sec^5(t) dt = (-7)^(6/5) * ∫ (u^2 - 1)^2 u^3 du 6. Integral: Resolvemos a integral: (-7)^(6/5) * ∫ (u^2 - 1)^2 u^3 du = (-7)^(6/5) * (∫ u^7 du - 2∫ u^5 du + ∫ u^3 du) 7. Substituição inversa: Fazemos a substituição inversa u = sec(t) e voltamos para a variável x: (-7)^(6/5) * (∫ u^7 du - 2∫ u^5 du + ∫ u^3 du) = (-7)^(6/5) * (1/8 * sec^8(t) - 1/3 * sec^6(t) + 1/4 * sec^4(t)) + C = (-7)^(6/5) * (1/8 * (1 + x^2/49)^4 - 1/3 * (1 + x^2/49)^3 + 1/4 * (1 + x^2/49)^2) + C Portanto, a solução da integral indefinida ∫ ∛(7 + x^5) x^4 dx é (-7)^(6/5) * (1/8 * (1 + x^2/49)^4 - 1/3 * (1 + x^2/49)^3 + 1/4 * (1 + x^2/49)^2) + C.