Questão 42 - (UFC) Ao dividir 1-i√3por –1 + i, obtém-se um complexo de argumento igual a: a) /4 b) 5/12 c) 7/12 d) 3/4 e) 11/12

Para resolver a questão, vamos dividir o número complexo \(1 - i\sqrt{3}\) por \(-1 + i\). Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é \(-1 - i\). 1. Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado: \[ \frac{(1 - i\sqrt{3})(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} \] 2. Calculando o denominador: \[ (-1 + i)(-1 - i) = 1 + 1 = 2 \] 3. Calculando o numerador: \[ (1 - i\sqrt{3})(-1 - i) = -1 - i + i\sqrt{3} + \sqrt{3} = (-1 + \sqrt{3}) + (i\sqrt{3} - i) \] Assim, o numerador se torna: \[ (-1 + \sqrt{3}) + i(\sqrt{3} - 1) \] 4. Portanto, a divisão fica: \[ \frac{(-1 + \sqrt{3}) + i(\sqrt{3} - 1)}{2} \] 5. Separando em partes real e imaginária: \[ \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2} \] 6. Agora, para encontrar o argumento, usamos a fórmula: \[ \text{arg}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{-1 + \sqrt{3}}\right) \] 7. Simplificando a fração: \[ \frac{\sqrt{3} - 1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = -1 \] 8. Portanto, o argumento é: \[ \text{arg}(z) = \tan^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4} \text{ (no segundo quadrante)} \] Assim, a resposta correta é: d) \(3\pi/4\).