Calcule Scdx + 2 2 + y²)dy, onde C é fronteira da região D definida por D = {(x, y) ∈ R² 1 < x² + y² < 4, x ≥ 0, y ≥ 0} orientada no sentido anti h...

Para calcular a integral de linha ∫C (xdx + 2y² + dy²), onde C é a fronteira da região D definida por D = {(x, y) ∈ R² 1 < x² + y² < 4, x ≥ 0, y ≥ 0} orientada no sentido anti-horário, podemos utilizar o Teorema de Green. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de x e y em relação a x e y: ∂x/∂x = 1 ∂y/∂x = 0 ∂x/∂y = 0 ∂y/∂y = 2y Agora, vamos calcular a integral dupla da região D: ∫∫D (∂y/∂x - ∂x/∂y) dA = ∫∫D (2y - 0) dA = ∫0² ∫√(4 - x²)¹ ∫0^(2 - x² - y²) (2y)dzdydx = ∫0² ∫√(4 - x²)¹ 2y(2 - x² - y²)dydx = ∫0² [-x³/3 + 2x]dx = 14/3 Agora, vamos aplicar o Teorema de Green: ∫C (xdx + 2y² + dy²) = ∫∫D (2y - 0) dA = 14/3 Portanto, a resposta correta é a alternativa D) 14/3.