Assinale a alternativa que dá a distância das duas retas, (, ), para as seguintes retas r: (x-1)/2=(y-3)/4=(z-5)/1=t e s: (x-1)/2=(y+1)/2=(z+3)/1=h...

Para encontrar a distância entre duas retas, podemos utilizar a fórmula: dist(r, s) = ||(Ponto Qualquer de r) - (Ponto Qualquer de s) - proj_vetorial((Ponto Qualquer de r) - (Ponto Qualquer de s), v) || / ||v|| Onde v é um vetor diretor comum às duas retas e proj_vetorial é a projeção vetorial do vetor (Ponto Qualquer de r) - (Ponto Qualquer de s) sobre o vetor v. Podemos encontrar um vetor diretor para cada reta a partir das equações paramétricas dadas: Para r: (x-1)/2=(y-3)/4=(z-5)/1=t, temos o vetor diretor v1 = (2, 4, 1) Para s: (x-1)/2=(y+1)/2=(z+3)/1=h, temos o vetor diretor v2 = (2, 2, 1) Agora, podemos escolher um ponto qualquer de cada reta e aplicar a fórmula acima. Vamos escolher os pontos (1, 3, 5) para r e (1, -1, -3) para s: dist(r, s) = ||(1, 3, 5) - (1, -1, -3) - proj_vetorial((1, 3, 5) - (1, -1, -3), (2, 4, 1))|| / ||(2, 4, 1)|| Calculando a projeção vetorial: proj_vetorial((1, 3, 5) - (1, -1, -3), (2, 4, 1)) = ((1, 3, 5) - (1, -1, -3)) . (2, 4, 1) / ||(2, 4, 1)||^2 * (2, 4, 1) proj_vetorial((1, 3, 5) - (1, -1, -3), (2, 4, 1)) = 16 / 21 * (2, 4, 1) proj_vetorial((1, 3, 5) - (1, -1, -3), (2, 4, 1)) = (32/21, 64/21, 16/21) Substituindo na fórmula: dist(r, s) = ||(1, 3, 5) - (1, -1, -3) - (32/21, 64/21, 16/21)|| / ||(2, 4, 1)|| dist(r, s) = ||(0, 4, 8) - (32/21, -2/21, -50/21)|| / (21/21 * ||(2, 4, 1)||) dist(r, s) = ||(32/21, 86/21, 146/21)|| / (21/21 * √21) dist(r, s) = ||(32, 86, 146)|| / (21 * √21) dist(r, s) = (32^2 + 86^2 + 146^2)^(1/2) / (21 * √21) dist(r, s) = (32^2 + 86^2 + 146^2)^(1/2) / (21 * √3 * √7) Portanto, a alternativa correta é a letra E) dist (r, s) = (32√5)/5.