Dada a equação geral da parábola x²+2x-6y+1=0, assinale a alternativa que indica CORRETAMENTE as coordenadas do vértice e do foco desta parábola: ...

Para encontrar as coordenadas do vértice e do foco da parábola, podemos utilizar a fórmula geral da parábola y = a(x - h)² + k, onde (h,k) é o vértice e a é a distância do foco ao vértice. Primeiro, precisamos colocar a equação da parábola na forma canônica. Para isso, vamos completar o quadrado: x² + 2x - 6y + 1 = 0 x² + 2x + 1 = 6y (x + 1)² = 6y y = (1/6)(x + 1)² Agora podemos identificar que h = -1 e k = 0, logo o vértice é V(-1,0). Para encontrar a distância do foco ao vértice, precisamos utilizar a fórmula a = 1/4p, onde p é a distância do foco à diretriz. Como a parábola está na forma y = a(x - h)² + k, sabemos que a = 1/4p = 1/6, logo p = 6/4 = 3/2. Assim, a distância do foco ao vértice é a = 1/4p = 1/4(3/2) = 3/8. Como a parábola abre para cima, o foco está acima do vértice, logo a coordenada y do foco é k + a = 3/8. Agora podemos encontrar a coordenada x do foco. Como a parábola está na forma y = (1/6)(x + 1)², podemos substituir y por k + a e resolver para x: k + a = 3/8 (1/6)(x + 1)² = 3/8 (x + 1)² = 9/4 x + 1 = ±3/2 x = -1 ± 3/2 Assim, as coordenadas do foco são F(-1 + 3/2, 3/8) e F(-1 - 3/2, 3/8), ou seja, F(1/2, 3/8) e F(-5/2, 3/8). Portanto, a alternativa correta é a letra A.