Assinale a alternativa que determina a equação do paraboloide elíptico com vértice na origem, eixo sobre o eixo Z e que passa pelos pontos A=(1,0,1...

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A equação do paraboloide elíptico com vértice na origem, eixo sobre o eixo Z e que passa pelos pontos A=(1,0,1) e B=(0,2,1) é dada pela alternativa (C): x² + 4y² - 2z = 0 Para encontrar a equação do paraboloide elíptico, podemos utilizar a fórmula: (x - a)² / p² + (y - b)² / q² = 2z / c Onde (a, b, 0) é o vértice do paraboloide, p e q são as distâncias do vértice aos pontos de interseção do paraboloide com os planos coordenados, e c é a distância focal. Substituindo os pontos A e B na equação, temos o seguinte sistema: (1 - a)² / p² + b² / q² = 2c a² / p² + (2 - b)² / q² = 2c Multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 1, temos: 4(1 - a)² / p² + 4b² / q² = 8c a² / p² + (2 - b)² / q² = 2c Somando as duas equações, temos: 4 - 2a + a² / p² + 4b² / q² + (2 - b)² / q² = 10c Como o paraboloide passa pelos pontos A e B, temos: (1 - a)² / p² + b² / q² = 2c a² / p² + 4b² / q² = 2c Substituindo 2c na equação anterior, temos: (1 - a)² / p² + b² / q² = a² / p² + 4b² / q² Simplificando, temos: p² = 4q² Substituindo p² por 4q² na equação anterior, temos: (1 - a)² / 4q² + b² / q² = a² / 4q² + b² / q² Simplificando, temos: a = 1/2 Substituindo a em uma das equações anteriores, temos: p² + 16b² / q² = 4c Substituindo p² por 4q², temos: 16q² + 16b² / q² = 4c Simplificando, temos: 4q⁴ + 4b² = cq² Substituindo c por (1/2)q², temos: 4q⁴ + 4b² = (1/2)q⁴ Simplificando, temos: 8q⁴ + 8b² = q⁴ 7q⁴ + 8b² = 0 Como q é positivo, temos: q = sqrt(-8b² / 7) Substituindo q na equação p² + 16b² / q² = 4c, temos: p² - 128b² / 7 = 0 Substituindo a, p e q na fórmula do paraboloide, temos: (x - 1/2)² / (128/7) + y² / (32/7) = z Simplificando, temos: 7x² + 28y² - 16z = 0 Que é a equação do paraboloide elíptico com vértice na origem, eixo sobre o eixo Z e que passa pelos pontos A=(1,0,1) e B=(0,2,1).