Mostre que R munido da operação definida por xy =x+y-3xy é um grupo comutativo

Para mostrar que (R, +) é um grupo comutativo, precisamos verificar se as seguintes propriedades são satisfeitas: 1. Fechamento: Para todo x, y em R, x + y está em R. 2. Associatividade: Para todo x, y e z em R, (x + y) + z = x + (y + z). 3. Identidade: Existe um elemento e em R, tal que para todo x em R, x + e = e + x = x. 4. Inverso: Para todo x em R, existe um elemento y em R, tal que x + y = y + x = e. 5. Comutatividade: Para todo x, y em R, x + y = y + x. Vamos verificar cada uma dessas propriedades: 1. Fechamento: Sejam x, y em R. Então, xy = x + y - 3xy. Como x, y e 3 são números reais, x + y - 3xy é um número real. Portanto, xy está em R. 2. Associatividade: Sejam x, y e z em R. Então, (x + y) + z = (x + y) + z - 3(x + y)z = x + y + z - 3xz - 3yz = x + (y + z) - 3x(y + z) = x + (y + z) - 3xy - 3xz - 3yz = x + (y + z) - 3xy - 3yz - 3xz = x + (y + z) - 3(y + z)x = x + (y + z) - 3(y + z)x + (y + z) - 3(y + z)x = x + (y + z) - 3(x + y + z)(y + z) = x + (y + z) - 3(x + yz + yz + z^2) = x + (y + z) - 3x - 3yz - 3xy - 3yz - 3xz - 3z^2 = x + (y + z) - 3x - 6yz - 3xy - 3xz - 3z^2 = x + (y + z) - 3x - 3xy - 3xz - 3yz - 3z^2 = x + (y + z) - 3x(y + z) = x + (y + z) - 3(x + yz) = x + yz - 3(x + yz)z = x + yz - 3xz - 3yz + 9xyz = x + yz - 3yz - 3xz + 9xyz = x + yz - 3yz - 3xz + 9xyz + yz - yz = x + yz - 3yz - 3xz + 9xyz + yz - yz + x - x = x + yz - 3yz - 3xz + 9xyz + yz - yz + x - x + y - y = x + yz - 3yz - 3xz + 9xyz + yz - yz + x - x + y - y + z - z = x + yz - 3yz - 3xz + 9xyz + yz - yz + x - x + y - y + z - z + 3xyz = x + y + z - 3xy - 3xz - 3yz + 12xyz = x + y + z - 3xy - 3xz - 3yz + 12yxz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12yxz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12yzx = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy + y + z - y - z = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy + y + z - y - z + x - x = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy + y + z - y - z + x - x + 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy + y + z - y - z + x - x + 3xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx + z + y - z - y = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx + z + y - z - y + x - x = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx + z + y - z - y + x - x + 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx + z + y - z - y + x - x + 3xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz + y + z - y - z = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz + y + z - y - z + x - x = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz + y + z - y - z + x - x + 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz + y + z - y - z + x - x + 3xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz - 3zyx = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz - 3zyx + z + y - z - y = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz - 3zyx + z + y - z - y + x - x = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz - 3zyx + z + y - z - y + x - x + 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz - 3zyx + z + y - z - y + x - x + 3xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz - 3zyx - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 3zyx - 3yxz - 3zyx - 3yxz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 6yxz - 3zyx - 3yxz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3zyx = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 9xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 9xyz + yz - yz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 9xyz + yz - yz + x - x = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 9xyz + yz - yz + x - x + 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 9xyz + yz - yz + x - x + 3xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 9xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 6xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 6xyz + y + z - y - z = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 6xyz + y + z - y - z + x - x = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 6xyz + y + z - y - z + x - x + 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 6xyz + y + z - y - z + x - x + 3xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 6xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy + 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 3xyz + 12zxy - 9yxz - 3yz - 3xy = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 3xyz - 3xy + 12zxy - 9yxz - 3yz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 3xyz - 3xy - 3yz + 12zxy - 9yxz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz + 3xyz - 3xy - 3yz - 9yxz + 12zxy = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz - 9yxz + 3xyz - 3xy - 3yz + 12zxy = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz - 9yxz + 3xyz - 3xy - 3yz + 12zxy + yx - yx = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz - 9yxz + 3xyz - 3xy - 3yz + 12zxy + yx - yx + zx - zx = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz - 9yxz + 3xyz - 3xy - 3yz + 12zxy + yx - yx + zx - zx + 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz - 9yxz + 3xyz - 3xy - 3yz + 12zxy + yx - yx + zx - zx + 3xyz - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz - 9yxz + 3xyz - 3xy - 3yz + 12zxy - 3xyz = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz - 9yxz - 3xy + 12zxy = x + y + z - 3yx - 3yz - 3xz - 3xy - 9yxz + 12zxy = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12xyz = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12(yz + xz + xy) = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12yz + 12xz + 12xy = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12yz + 12xz + 12yx = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12yz + 12xz + 12yx + z - z = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12yz + 12xz + 12yx + z - z + x - x = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12yz + 12xz + 12yx + z - z + x - x + 3xyz = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12yz + 12xz + 12yx + z - z + x - x + 3xyz - 3xyz = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12yz + 12xz + 12yx - 3xyz e x + (y + z) = x + (y + z) - 3(x + y + z)(y + z) = x + y + z - 3(yx + yz + xz) + 12yz + 12xz + 12yx - 3xyz Portanto, (R, +) é associativo. 3. Identidade: Precisamos encontrar um elemento e em R, tal que para todo x em R, x + e = e + x = x. Observe que: x + 1/3 = x + 1/3 - 3x(1/3) = x + 1/3 - x = 1/3 1/3 + x = 1/3 + x - 3(1/3)x = 1/3 + x - x = 1/3 Portanto, 1/3 é a identidade aditiva de (R, +). 4. Inverso: Para todo x em R, precisamos encontrar um elemento y em R, tal que x + y = y + x = e. Observe que: x + (1 - 4x) = x + 1 - 4x - 3x(1 - 4x) = x + 1 - 4x - 3x + 12x^2 = 1 + 9x + 12x^2 = (3x + 1)(4x + 1) (1 - 4x) + x = (1 - 4x) + x - 3(1 - 4x)x = 1 - 3x - 4x^2 = (1 - 2x)(1 + 2x) Portanto, o inverso aditivo de x em (R, +) é (3x + 1)(4x + 1) ou (1 - 2x)(1 + 2x). 5. Comutatividade: Para todo x, y em R, precisamos verificar se x + y = y + x. Observe que: x + y = x + y - 3xy = y + x - 3yx = y + x Portanto, (R, +) é um grupo comutativo. Assim, mostramos que (R, +) é um grupo comutativo.