QUESTIONÁRIO III ÁLGEBRA LINEAR COMPLETO Para verificar se E = ℤ e a operação definida por x * y = x + y + xy é um grupo comutativo, foram verifica...

A alternativa correta é a letra d) I, II e III são verdadeiras. Explicação: Para que a operação definida por x * y = x + y + xy seja um grupo comutativo, é necessário que ela atenda às seguintes propriedades: associativa, elemento neutro, elemento simetrizável e comutativa. I. A propriedade associativa é verificada pela igualdade (x * y) * z = x * (y * z), que é verdadeira para a operação definida. II. A existência de um elemento neutro é verificada pela igualdade x * e = e * x = x, onde e é o elemento neutro. Nesse caso, o elemento neutro é -1, pois x * (-1) = -1 * x = x. III. A existência de elementos simetrizáveis é verificada pela igualdade x' * x = x * x' = e, onde x' é o elemento simétrico de x. Nesse caso, o elemento simétrico de x é -1-x, pois x * (-1-x) = (-1-x) * x = -1. IV. A propriedade comutativa é verificada pela igualdade x * y = y * x, que é verdadeira para a operação definida. Portanto, as propriedades I, II e III são verdadeiras, e a propriedade IV também é verdadeira, o que significa que a operação definida é um grupo comutativo.