Questão 02 Na engenharia, a integração por substituição desempenha um papel vital na análise de velocidades em sistemas dinâmicos. Ao aplicar esta ...

a) Para encontrar a função horária, é necessário integrar a expressão da velocidade em relação ao tempo. Utilizando o método de integração por substituição, temos: v(t) = 3t / (v3t^2 + 5) Fazendo a substituição u = v3t^2 + 5, temos: du/dt = 6t v3t^2 dt = du / (6t v3t^2) Substituindo na integral, temos: ∫v(t) dt = ∫(3t / u) (du / (6t v3t^2)) ∫v(t) dt = (1/2) ∫(1/u) du ∫v(t) dt = (1/2) ln|u| + C Substituindo u = v3t^2 + 5 e a condição inicial s(1) = 12, temos: s(t) = (1/2) ln|v3t^2 + 5| + 12 b) Para encontrar a posição da partícula no instante t = 10 s, basta substituir o valor de t na função horária que encontramos: s(10) = (1/2) ln|v3(10)^2 + 5| + 12 s(10) = (1/2) ln|305| + 12 s(10) ≈ 20,6 m Portanto, a posição da partícula no instante t = 10 s é de aproximadamente 20,6 m.