Considere f:[0,5]→R dada por f(x)=x2 - 9. Então, pelo Teorema do Valor Médio temos: CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO

Para aplicar o Teorema do Valor Médio à função \( f(x) = x^2 - 9 \) no intervalo \([0, 5]\), precisamos verificar se a função é contínua e derivável nesse intervalo. 1. Continuidade: A função \( f(x) \) é um polinômio, portanto é contínua em todo o \(\mathbb{R}\), incluindo o intervalo \([0, 5]\). 2. Derivabilidade: A função também é derivável em todo o \(\mathbb{R}\). Agora, aplicando o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um \( c \in (0, 5) \) tal que: \[ f'(c) = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0} \] Calculando \( f(5) \) e \( f(0) \): - \( f(5) = 5^2 - 9 = 25 - 9 = 16 \) - \( f(0) = 0^2 - 9 = -9 \) Agora, substituindo: \[ f'(c) = \frac{16 - (-9)}{5 - 0} = \frac{16 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5 \] Agora, encontramos a derivada da função: \[ f'(x) = 2x \] Igualando a derivada a 5: \[ 2c = 5 \implies c = \frac{5}{2} = 2,5 \] Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe um \( c = 2,5 \) no intervalo \((0, 5)\) onde a condição é satisfeita.