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Para determinar o volume da região limitada acima pelo paraboloide z=5−x²−y² e abaixo pelo paraboloide z=4x²+4y², podemos utilizar as coordenadas cilíndricas. As equações de conversão são: x = r cos(θ) y = r sen(θ) z = z Substituindo as equações acima na equação dos paraboloides, temos: z = 5 - r² z = 4r² Igualando as duas equações, temos: 5 - r² = 4r² r² = 5/3 O volume pode ser calculado pela integral tripla em coordenadas cilíndricas: V = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ r dz dr dθ Integrando em relação a z, temos: ∫∫∫ r dz dr dθ = ∫₀^2π ∫₀^√(5/3) ∫^(4r²)_(5-r²) r dz dr dθ Integrando em relação a z, temos: ∫^(4r²)_(5-r²) r dz = r(4r² - 5 + r²) = 5r³ - r Integrando em relação a r, temos: ∫₀^√(5/3) (5r³ - r) dr = (5/4)(5/3)^(3/2) - (1/2)(5/3)^(1/2) = (25/12)√(5/3) - (5/6)√(5/3) Integrando em relação a θ, temos: ∫₀^2π (25/12)√(5/3) - (5/6)√(5/3) dθ = (5/3)π Portanto, o volume da região é de (C) (5/3)π.