Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar. Determine o volume da região limitada ac...

Para resolver esse problema, é mais apropriado utilizar coordenadas cilíndricas. O paraboloide superior é dado por z = 5 - x² - y² e o inferior por z = 4x² + 4y². Para encontrar os limites de integração, igualamos as duas equações e obtemos: 5 - x² - y² = 4x² + 4y² 5x² + 5y² = 5 x² + y² = 1 Isso nos dá um círculo de raio 1 no plano xy. Para encontrar os limites de z, basta substituir as coordenadas cilíndricas em cada equação: z = 5 - r² z = 4r² O limite inferior de z é dado pelo paraboloide inferior, que é z = 4r². O limite superior é dado pelo paraboloide superior, que é z = 5 - r². Portanto, o volume da região é dado por: V = ∫∫∫ dz r dr dθ V = ∫0^1 ∫0^2π ∫4r²^(5-r²) dz r dr dθ V = ∫0^1 ∫0^2π (5r² - r^4 - 4r^4) r dr dθ V = ∫0^1 ∫0^2π (5r³ - 5r^5) dr dθ V = ∫0^1 (5/4 - 5/6) dθ V = ∫0^1 (5/12) dθ V = 5π/6 Portanto, a alternativa correta é a letra C) 2π/2.