A função do Limite do é determinar o comportamento de funções em determinados pontos e em intervalos. Determine \(o\) valor do limite \(\lim _{x \r...

Para determinar o valor do limite \(\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2 2 x+5}{x^3 7 x^2 2 x-1} \right]\), podemos utilizar a regra de L'Hôpital, que consiste em derivar o numerador e o denominador da fração separadamente e, em seguida, calcular o limite novamente. Aplicando a regra de L'Hôpital, temos: \begin{align*} \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2 2 x+5}{x^3 7 x^2 2 x-1} \right] &= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{\frac{d}{dx}(x^2 2 x+5)}{\frac{d}{dx}(x^3 7 x^2 2 x-1)} \right] \\ &= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{(2x+2)}{(3x^2+14x-1)} \right] \\ &= \frac{\lim _{x \rightarrow \infty}(2x+2)}{\lim _{x \rightarrow \infty}(3x^2+14x-1)} \\ &= \frac{\lim _{x \rightarrow \infty}2x}{\lim _{x \rightarrow \infty}3x^2} \\ &= \frac{\infty}{\infty} \\ \end{align*} Podemos aplicar novamente a regra de L'Hôpital: \begin{align*} \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{(2x+2)}{(3x^2+14x-1)} \right] &= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{\frac{d}{dx}(2x+2)}{\frac{d}{dx}(3x^2+14x-1)} \right] \\ &= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{2}{6x+14} \right] \\ &= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{3x+7} \right] \\ &= 0 \\ \end{align*} Portanto, o valor do limite é igual a 0.