13. Se o produto das raízes da equação x2 + n2 – 2nx – 64 = 0, onde x é a incógnita e n é constante, é igual a 36, então, a soma dos quadrados destas raízes é igual a A) 269. B) 382. C) 296. D) 328.

Question

13. Se o produto das raízes da equação x2 + n2 – 2nx – 64 = 0, onde x é a incógnita e n é constante, é igual a 36, então, a soma dos quadrados dest...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos usar as propriedades das raízes de uma equação quadrática. A equação dada é:

$$ x^2 - 2nx + (n^2 - 64) = 0 $$

Pela fórmula de Bhaskara, sabemos que o produto das raízes $ r_1 $ e $ r_2 $ de uma equação $ ax^2 + bx + c = 0 $ é dado por $ \frac{c}{a} $. No nosso caso, temos:

- $ a = 1 $
- $ b = -2n $
- $ c = n^2 - 64 $

Portanto, o produto das raízes é:

$$ r_1 \cdot r_2 = \frac{n^2 - 64}{1} = n^2 - 64 $$

Sabemos que esse produto é igual a 36:

$$ n^2 - 64 = 36 $$

Resolvendo essa equação:

$$ n^2 = 36 + 64 $$
$$ n^2 = 100 $$
$$ n = 10 \text{ ou } n = -10 $$

Agora, precisamos encontrar a soma dos quadrados das raízes. A soma dos quadrados das raízes pode ser calculada pela fórmula:

$$ r_1^2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2 $$

Sabemos que:

- A soma das raízes $ r_1 + r_2 = 2n $
- O produto das raízes $ r_1 r_2 = 36 $

Substituindo:

1. $ r_1 + r_2 = 2n = 2 \times 10 = 20 $
2. $ r_1 r_2 = 36 $

Agora, substituindo na fórmula da soma dos quadrados:

$$ r_1^2 + r_2^2 = (20)^2 - 2 \times 36 $$
$$ r_1^2 + r_2^2 = 400 - 72 $$
$$ r_1^2 + r_2^2 = 328 $$

Portanto, a soma dos quadrados das raízes é igual a:

**D) 328**.

Ed · Answer

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara, que nos dá as raízes de uma equação do segundo grau.

Dada a equação x² + n² - 2nx - 64 = 0, temos:

Δ = b² - 4ac
Δ = (-2n)² - 4(1)(n² - 64)
Δ = 4n² - 4n² + 256
Δ = 256

As raízes da equação são dadas por:

x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (2n ± 16) / 2
x1 = n + 8
x2 = n - 8

O produto das raízes é:

x1 * x2 = (n + 8) * (n - 8)
x1 * x2 = n² - 64

Sabemos que o produto das raízes é igual a 36, então:

n² - 64 = 36
n² = 100
n = 10 ou n = -10

Substituindo na fórmula das raízes, temos:

x1 = 10 + 8 = 18
x2 = 10 - 8 = 2

A soma dos quadrados das raízes é:

x1² + x2² = 18² + 2²
x1² + x2² = 324 + 4
x1² + x2² = 328

Portanto, a alternativa correta é a letra D) 328.

Matemática

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