Modulo 3 Relações de Girard para as equações polinomiais

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Relações de Girard para as equações polinomiais – modulo 03
	
Exemplo 1
Observe que a soma das raízes não depende de 𝑐. Como consequência, a média das raízes também não depende de 𝑐. Esse fato é facilmente percebido porque, na função real 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,o valor de 𝑐 só impacta o deslocamento vertical de seu gráfico e 𝑥=−𝑏/2𝑎, que corresponde ao eixo de simetria de sua parábola gráfico.
Exemplo 2
Determine a soma dos quadrados das raízes da equação:
Exemplo 3
Se 𝑥1 e 𝑥2 são as raízes da equação 3𝑥2−𝑥+2=0, calcule a soma dos inversos dessas raízes.
Exemplo 4
Se 𝑥1 e 𝑥2 são as raízes da equação 𝑥2+𝑥+10=0, calcule a soma dos cubos dessas raízes.
Solução
Veja que a soma dos cubos das duas raízes pode ser expandida devido aos produtos notáveis!
Exemplo 5
Determine uma equação com coeficiente líder igual a 1, cujas raízes são uma unidade a mais do que as raízes da equação:
Exemplo 6
Determine as soma e o produto das raízes da equação:
Exemplo 7
Calcule a soma dos quadrados das raízes da equação:
Exemplo 8
Calcule a soma dos inversos das raízes da equação do exemplo anterior.
Solução
Basta observar que a soma 𝑆 dos inversos das raízes é dada por:
Exemplo 9
Dada a equação 𝑥3+2𝑥2−3𝑥+2=0 determine uma equação com coeficiente líder igual a 1, cujas raízes são o dobro de suas raízes.
Questão 1
Determine a soma dos quadrados das raízes da equação
2𝑥2+4𝑥+9=0
Questão 2
Considere a equação do segundo grau 𝑥2+2𝑥+4=0. Determine a soma dos cubos das raízes da equação.
Questão 3
Se as raízes da equação 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 são 𝑚 e 𝑛, então a soma dos inversos dessas raízes vale:
Questão 4
Dada a equação 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, determine uma equação cujas raízes são o dobro de suas raízes.
Questão 5
Dada a equação 𝑥3+𝑥+1=0, determine uma equação cujas raízes sejam o produto de suas raízes pela unidade imaginária 𝑖.
Questão 6
Uma equação cujas raízes são o inverso das raízes da equação 𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=0 é dada por:
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