O MDC será então formado pela multiplicação dos valores primos, que durante o processo de divisão, dividiram simultaneamente os números do conjunto...

O MDC será então formado pela multiplicação dos valores primos, que durante o processo de divisão, dividiram simultaneamente os números do conjunto. Suponha por exemplo que queremos determinar o MDC entre 24, 36 e 60. Vamos realizar a divisão, e então verificar para quais termos ocorreram divisões onde todos os números do conjunto foram divididos simultaneamente, e desta forma determinar o MDC. Obs. Também é possível determinar o MDC, fazendo a comparação ("força bruta") entre todos os divisores de todos os números e verificando qual é o maior divisor comum, ou ainda através o algoritmo de Euclides quando se tem apenas dois números. Agora que definimos o MDC, podemos também definir o conceito de números primos entre sí. Um conjunto finito de números naturais são primos entre si, se o MDC destes números for 1. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) O MMC de um conjunto finito de números, é definido como o menor múltiplo, não nulo, comum a todos os números deste conjunto. O processo para obtenção do MMC, é similar ao que vimos para obtenção do MDC. Realizamos a divisão de todos os números do conjunto ao mesmo tempo, utilizando os números primos 2, 3, 5, 7,... sucessivamente até obtermos a divisão de todos os números do conjunto. O MMC, será o resultado da multiplicação de todos os termos primos utilizados no processo de divisão. Suponha por exemplo que no exemplo anterior do MDC, quiséssemos agora obter o MMC de 24,36 e 60. Então o cálculo seria conforme abaixo. Para o cálculo do MMC, todos os termos são computados MMC 24;36;60 2.2.2.3.3.5 = 360. Para estes termos, todos os números do conjunto foram divididos simultaneamente MDC 24;36;60 2.2.3 = 12. Obs. Também é possível determinar o MMC, fazendo a comparação ("força bruta") entre os múltiplos de todos os números e verificando qual é o menor múltiplo comum. Finalmente existe uma relação entre o MDC e o MMC de dois números naturais a e b : MDC a; b .MMC a; b a. b. O conjunto dos números Inteiros: O conjunto dos números Inteiros, nos permite trabalhar com valores negativos, o que não era possível no conjunto do números Naturais. Denotamos o conjunto dos números Inteiros por Z. Z ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... Elemento Oposto: Dados dois números inteiros a e b . Dizemos que o número b é o oposto de a , e denotamos por a, se a b 0. (p.ex: 4 é o oposto de 4, pois 4 4 0 . Valor absoluto ou módulo: O valor absoluto ou módulo de um número inteiro a é denotado por |a|, corresponde ao número natural, tal que: |a| a; se a 0 a; se a 0 ex: |2| 2 | 2| 2 Adição entre números Inteiros: Para adicionarmos dois números inteiros a e b procedemos da seguinte forma: Se a e b possuem o mesmo sinal, efetuamos a soma dos valores absolutos e mantemos o mesmo sinal. Se a e b possuem sinais contrários, calculamos a diferença entre seus valores absolutos e mantemos o sinal daquele que possui maior valor absoluto. Obs1. Também valem as 5 propriedades da adição vistas para os números naturais. Obs2. A subtração entre dois inteiros a b , pode ainda ser interpretada como a soma do número a com o oposto do número b. Multiplicação entre números Inteiros: Para multiplicarmos dois números inteiros a e b procedemos da seguinte forma: Se a e b tem o mesmo sinal, então: a. b |a|. |b| Se a e b possuem sinal contrários, então: a. b |a|. |b| Obs. Das cinco propriedades da multiplicação vistas para os números Naturais, a quarta propriedade é alterada quando aplicada aos números Inteiros e passa a ser: 4) Se a b, então a. c b. c; se c 0 a. c b. c; se c 0 Divisão entre números Inteiros: Valem as mesmas regras vistas na operação de multiplicação para os sinais do resultado da divisão. (Dica: na multiplicação ou divisão entre dois números inteiros , se os sinais são iguais o resultado tem sinal positivo, se os sinais forem contrários o resultado tem sinal negativo) . MMC e MDC de números inteiros: Dados dois números inteiros a e b, não nulos, temos que: MDC a; b MDC |a|; |b| MMC a; b MMC |a|; |b| MDC a; b .MMC a; b |a. b| Potência Inteira: Dados dois números inteiros a e b com a 0, então: a a.a. . .a, se b 0 1, se b 0 1 a a a ; se b 0 Equação Diofantina: Uma equação Diofantina, é uma equação na forma ax by c. Uma equação Diofantina possuirá solução para os valores de x e y se, e somente se, o MDC a; b dividir c; e neste caso a equação admitirá várias soluções. E dada uma solução particular correspondendo a um par de valores x e y , as demais soluções para x e y podem ser determinadas aplicando-se as fórmulas: b ???? ???? b ???????????? a; b . k e y a ???????????? a; b . k ; com k ∈ Z Obs. Note que se o MDC a; b 1. Então as equações acima podem ser reescritas simplesmente como: x x b. k e y y a. k ; com k ∈ Z Semana 3 Conjunto dos números Racionais: Denotamos o conjunto dos números Racionais por Q , como o conjunto dos números na forma de uma fração , onde a e b são inteiros e b 0. Sendo que a é o numerador da fração, e b o denominador da fração. Q a b tais que,a e b ∈ Z e b 0 Soma entre números racionais : a b c d a. MMC b;d b c. MMC b;d d