Semana 8 - Revisao1- Matemática básica - MMB002 (1)

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REVISÃO MATEMÁTICA BÁSICA - MMB002 
Esta revisão está fortemente baseada na sequência de conteúdos tratados e discutidos 
nas videoaulas e nos textos base que compõe o curso, e busca extrair e sintetizar os principais 
tópicos e conceitos apresentados ao longo do curso. Lembramos que somente a leitura deste 
material não é suficiente para o seu estudo. Este material deve ser usado mais fortemente 
como um guia para relembrá-lo(a) dos assuntos tratados. O estudo dos materiais-base/textos-
base, são de fundamental importância para que você possa ter um bom aproveitamento nas 
avaliações. 
Bons estudos! 
Semana 1 
O conjunto dos números Naturais: 
 O conjunto dos números naturais é denotado por N , e pode ser representado pelo 
conjunto dos números abaixo: 
N ={0,1 ,2 ,3 ,4, 5,...} 
 Conforme vimos no curso, eles sugiram devido a necessidade do homem de contar 
quantidades. 
 
Sistemas de numeração: 
 Ao longo da história diversos sistema de numeração foram empregados pelas diversas 
civilizações. Vimos ainda que existiram sistemas posicionais (quando o valor de um número 
depende da posição que cada símbolo ocupa), e sistemas não posicionais, como o sistema 
Egípcio, onde um determinado valor independe da posição que cada símbolo ocupa para 
representar um determinada quantidade, como nos exemplo abaixo: 
Sistema Indo-Arábico (posicional): 45 54. 
Sistema Egípcio(não posicional): ⋂II 10 1 1 II⋂ 1 1 10 
 
Base dos sistemas de numeração: 
 Vimos que podemos ter sistemas de numeração escritos em diversas bases. Sendo que 
uma dada quantidade pode ser representada como o somatório de potências desta base 
(começando com a potência zero até a posição do ultimo símbolo na representação da 
quantidade) multiplicadas por valores pertencentes aos símbolos de representação da base, 
sendo que estes símbolos vão sempre de 0 até o valor da base-1. Assim para base 2 são 
utilizados somente 0 e 1 (1=2-1), para a base decimal o valores vão de 0 até 9 (9=10-1). 
Abaixo temos alguns exemplos dessa representação: 
Base 2: 1001 1 2 0 2 0 2 1 2 8 0 0 1 9 
Base 10: 2341 2 10 3 10 4 10 1 10 2000 300 40 1 2341 
Obs. Uma base bastante utilizada é a base 16 ou Hexadecimal. Como descrito anteriormente, 
os valores dos símbolos vão de 0 até 16-1=15. No entanto, os valores de 10 até 15, são 
representados por letras nesta base, assim temos: 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E e 15=F. 
Assim por exemplo o número 3FA pode ser escrito como: 
Base 16: 3𝐹𝐴 3 16 15 16 10 16 768 240 10 1018 
 
Operações no conjunto dos números Naturais 
 Vimos as operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação. As operações 
possuem propriedades que são importantes na simplificação de expressões e na resolução de 
problemas. 
Propriedades da adição: 
Para quaisquer números naturais, a, b , c temos que: 
1) propriedade comutativa: a+b = b+a 
2) propriedade associativa: (a+b)+c = a+(b+c) 
3) elemento neutro: a+0 = a 
4) se a>b, então a+c > b+c 
5) se a+b = a, então b=0 
Propriedades da multiplicação: 
Para quaisquer números naturais, a, b, c temos que: 
1) propriedade comutativa: a.b = b.a 
2) propriedade associativa: (a.b).c = a.(b.c) 
3) elemento neutro: a.1 = a 
4) se a>b, então a.c ≥ b.c 
5) se a.b = a, então b = 1 ou a = 0 
 
Propriedades distributiva: 
Para quaisquer números naturais, a, b, c temos que: 
 (a+b).c = a.c + b.c 
 
Operações em outras bases: 
Vimos que uma maneira de realizarmos operações com números escritos em bases diferentes 
da base decimal, é escrevê-los na forma do somatório de potências na base correspondente e 
então realizar as operações potência a potência. Como no exemplo abaixo da soma, subtração 
e multiplicação entre dois números na base 5. 
Soma entre 24 e, 12 na base 5. 
24 2 5 4 5 
12 1 5 2 5 
24 12 2 5 4 5 1 5 2 5 
3 5 6 5 3 5 1 5 1 5 4 5 1 5 
41 
Subtração entre 24 e, 12 na base 5. 
24 12 2 5 4 5 1 5 2 5 
2 5 1 5 4 5 2 5 1 5 2 5 
12 
Multiplicação entre 24 e, 12 na base 5. 
24 . 12 2 5 4 5 . 1 5 2 5 
aplicando a propriedade distributiva temos: 
2 5 4 5 4 5 8 5 
2 5 4 5 4 5 1 5 3 5 
2 5 9 5 3 5 
2 5 1 5 4 5 3 5 
3 5 4 5 3 5 
343 
 
Potência Natural: 
 Dado um número 𝑏 e um número 𝑎 , sendo que 𝑎 é multiplicado por si mesmo 𝑏 vezes. 
Então definimos 𝑎 como a potência de base 𝑎 e expoente 𝑏. 
𝑎 𝑎.𝑎. . . 𝑎 
Obs. Se 𝑏 0 e 𝑎 0, então 𝑎 1. No caso em que tanto 𝑎 como 𝑏 são iguais a zero, 
dizemos que temos uma indeterminação matemática. 
 
Semana 2 
Divisão: 
 Uma das maneiras de "visualizarmos" a operação de divisão entre dois números 
naturais 𝑝 e 𝑞, com 𝑞 0, é através da distribuição em partes iguais da quantidade 
representada 𝑝 por um número de partes representa pela quantidade 𝑞. Muitas vezes no 
processo de divisão não é possível dividir completamente a quantidade 𝑝 , em 𝑞 partes iguais, 
neste caso o valor que sobra após a divisão (distribuição em partes iguais), é chamado de 
resto. Na verdade todas as quantidades envolvidas na divisão recebem denominações, 
conforme o exemplo abaixo de uma conta de divisão. 
 
 
 
2 11 
1 
-10 5 
Divisor 
Quociente 
Dividendo 
Resto 
𝑏 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 
Através do processo de divisão acima, vemos que podemos escrever: 11 = 5.2 + 1. 
 
Algumas definições: 
 Dizemos que um número natural 𝑝 1 é primo, se os únicos divisores de 𝑝 forem o 
número 1 e o próprio 𝑝. 
 Dizemos que um numero natural 𝑝 é múltiplo do número natural 𝑞, se existir um 
numero natural 𝑘, que seja válida a igualdade: 𝑝 𝑘. 𝑞. 
 Um número natural 𝑞 0, é dito divisor do número natural 𝑝 . Se o restes da divisão 
de 𝑝 por 𝑞, for igual a zero. 
 
Critérios de divisibilidade 
Existem alguns critérios que podem ser aplicados a um dado número para verificarmos a sua 
divisibilidade, conforme descrito abaixo. 
 Divisível por 2: números terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
 Divisível por 3: se a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3. 
 Divisível por 5: terminar em 0 ou 5. 
 Divisível por 6: se for divisível por 2 e 3. 
 Divisível por 9: se a soma de seus algarismos for um múltiplo de 9. 
 Divisível por 10: se terminar em 0. 
 Para saber se um número é divisível por 7, existem um algoritmo que pode se 
aplicado e que foi visto na aula sobre divisão. O algoritmo pode ser descrito como 
segue. 
 multiplique por 2 o último algarismo 
 subtrair este valor do número inicial sem o último algarismo. 
 O resultado deve ser múltiplo de 7. 
Obs. Caso ainda não seja possível determinar, este procedimento pode ser repetido 
sucessivamente utilizando os resultados obtidos até ser possível determinar se o 
resultado final é divisível por 7. 
 
Máximo Divisor Comum (MDC) 
 O MDC de um conjunto finito de números, é o maior número que divisor de todos os 
números do conjunto. 
 Uma das formas de se determinar o MDC entre um conjunto de números, é realizar a 
divisão de todos os números do conjunto ao mesmo tempo, utilizando os números primos 2, 3, 
5, 7,... sucessivamente até obtermos a divisão de todos os números do conjunto. O MDC será 
então formado pela multiplicação dos valores primos, que durante o processo de divisão, 
dividiram simultaneamente os números do conjunto. 
 Suponha por exemplo que queremos determinar o MDC entre 24, 36 e 60. Vamos 
realizar a divisão, e então verificar para quais termos ocorreram divisões onde todos os 
números do conjunto foram divididos simultaneamente, e desta forma determinar o MDC. 
 
 
 
 
 
 
Obs. Também é possível determinar o MDC , fazendo a comparação ("força bruta") entre 
todos os divisores de todos os números e verificando qual é o maior divisor comum, ou ainda 
através o algoritmo de Euclides quando se tem apenas dois números. 
 Agora que definimos o MDC, podemos também definir o conceito de números primos 
entre sí. Um conjunto finito de números naturais são primos entre si, se o MDC destes 
números for 1. 
 
Mínimo Múltiplo Comum(MMC) 
 O MMC de um conjunto finito de números, é definido como o menor múltiplo, não 
nulo, comum a todos os números deste conjunto. O processo para obtenção do MMC, é 
similar ao que vimos para obtenção do MDC. Realizamos a divisão de todos os números do 
conjunto ao mesmo tempo, utilizando os números primos 2, 3, 5, 7,... sucessivamente até 
obtermos a divisão de todos os números do conjunto. O MMC, será o resultado da 
multiplicação de todos os termos primos utilizados no processo de divisão. Suponha por 
exemplo que no exemplo anterior do MDC, quiséssemos agora obter o MMC de 24,36 e 60. 
Então o cálculo seria conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
 
24, 36, 60 2 
12, 18, 30 2 
 6, 9, 15 2 
 3, 9, 15 3 
 1, 3, 5 3 
 1, 1, 5 5 
 1, 1, 1 
Para o cálculo do MMC, 
todos os termos são 
computados 
𝑴𝑴𝑪 𝟐𝟒;𝟑𝟔;𝟔𝟎 2.2.2.3.3.5 = 360 
 
24, 36, 60 2 
12, 18, 30 2 
 6, 9, 15 2 
 3, 9, 15 3 
 1, 3, 5 3 
 1, 1, 5 5 
 1, 1, 1 
Para estes termos, todos os 
números do conjunto foram 
divididos simultaneamente 
𝑴𝑫𝑪 𝟐𝟒;𝟑𝟔;𝟔𝟎 2.2.3 = 12 
Obs. Também é possível determinar o MMC , fazendo a comparação ("força bruta") entre os 
múltiplos de todos os números e verificando qual é o menor múltiplo comum. 
 Finalmente existe uma relação entre o MDC e o MMC de dois números naturais 𝑎 e 𝑏 : 
𝑀𝐷𝐶 𝑎; 𝑏 .𝑀𝑀𝐶 𝑎; 𝑏 𝑎. 𝑏 
 
O conjunto dos números Inteiros: 
 O conjunto dos números Inteiros, nos permite trabalhar com valores negativos, 
o que não era possível no conjunto do números Naturais. Denotamos o conjunto dos 
números Inteiros por Z. 
𝑍 … , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
Elemento Oposto: 
 Dados dois números inteiros 𝑎 e 𝑏 . Dizemos que o número 𝑏 é o oposto de 𝑎 , 
e denotamos por 𝑎, se 𝑎 𝑏 0. (p.ex: 4 é o oposto de 4, pois 4 4 0 . 
 
Valor absoluto ou módulo: 
 O valor absoluto ou módulo de um número inteiro 𝑎 é denotado por |𝑎|, corresponde 
ao número natural, tal que: 
|𝑎|
𝑎; 𝑠𝑒 𝑎 0
𝑎; 𝑠𝑒 𝑎 0 
ex: 
|2| 2 
| 2| 2 
 
Adição entre números Inteiros: 
Para adicionarmos dois números inteiros 𝑎 e 𝑏 procedemos da seguinte forma: 
 Se 𝑎 e 𝑏 possuem o mesmo sinal, efetuamos a soma dos valores absolutos e 
mantemos o mesmo sinal. 
 Se 𝑎 e 𝑏 possuem sinais contrários, calculamos a diferença entre seus valores 
absolutos e mantemos o sinal daquele que possui maior valor absoluto. 
Obs1. Também valem as 5 propriedades da adição vistas para os números naturais. 
Obs2. A subtração entre dois inteiros 𝑎 𝑏 , pode ainda ser interpretada como a 
soma do número 𝑎 com o oposto do número 𝑏. 
Multiplicação entre números Inteiros: 
Para multiplicarmos dois números inteiros 𝑎 e 𝑏 procedemos da seguinte forma: 
 Se 𝑎 e 𝑏 tem o mesmo sinal, então: 𝑎. 𝑏 |𝑎|. |𝑏| 
 Se a e b possuem sinal contrários, então: 𝑎. 𝑏 |𝑎|. |𝑏| 
Obs. Das cinco propriedades da multiplicação vistas para os números Naturais, a 
quarta propriedade é alterada quando aplicada aos números Inteiros e passa a ser: 
 4) Se 𝑎 𝑏, então 
𝑎. 𝑐 𝑏. 𝑐; 𝑠𝑒 𝑐 0
𝑎. 𝑐 𝑏. 𝑐; 𝑠𝑒 𝑐 0 
 
Divisão entre números Inteiros: 
 Valem as mesmas regras vistas na operação de multiplicação para os sinais do 
resultado da divisão. (Dica: na multiplicação ou divisão entre dois números inteiros , se 
os sinais são iguais o resultado tem sinal positivo, se os sinais forem contrários o 
resultado tem sinal negativo) . 
 
 
MMC e MDC de números inteiros: 
 Dados dois números inteiros 𝑎 e 𝑏, não nulos, temos que: 
 𝑀𝐷𝐶 𝑎; 𝑏 𝑀𝐷𝐶 |𝑎|; |𝑏| 
 𝑀𝑀𝐶 𝑎; 𝑏 𝑀𝑀𝐶 |𝑎|; |𝑏| 
 𝑀𝐷𝐶 𝑎; 𝑏 .𝑀𝑀𝐶 𝑎; 𝑏 |𝑎. 𝑏| 
 
 
Potência Inteira: 
 Dados dois números inteiros 𝑎 𝑒 𝑏 com 𝑎 0, então: 
 
 
𝑎
𝑎.𝑎. . .𝑎, 𝑠𝑒 𝑏 0 
1, 𝑠𝑒 𝑏 0
1
𝑎
.
1
𝑎
…
1
𝑎
 ; 𝑠𝑒 𝑏 0
 
 
 
Equação Diofantina: 
 Uma equação Diofantina, é uma equação na forma 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐. Uma equação 
Diofantina possuirá solução para os valores de 𝑥 e 𝑦 se, e somente se, o 𝑀𝐷𝐶 𝑎; 𝑏 
dividir 𝑐; e neste caso a equação admitirá várias soluções. E dada uma solução 
particular correspondendo a um par de valores 𝑥 e 𝑦 , as demais soluções para 𝑥 e 𝑦 
podem ser determinadas aplicando-se as fórmulas: 
𝑏 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 
 
𝑥 𝑥
𝑏
𝑀𝐷𝐶 𝑎; 𝑏 
. 𝑘 e 𝑦 𝑦
𝑎
𝑀𝐷𝐶 𝑎; 𝑏 
. 𝑘 ; com 𝑘 ∈ Z 
 
 
Obs. Note que se o 𝑀𝐷𝐶 𝑎; 𝑏 1. Então as equações acima podem ser reescritas 
simplesmente como: 
 
𝑥 𝑥 𝑏. 𝑘 e 𝑦 𝑦 𝑎. 𝑘 ; com 𝑘 ∈ Z 
 
 
 
Semana 3 
Conjunto dos números Racionais: 
 Denotamos o conjunto dos números Racionais por Q , como o conjunto dos números 
na forma de uma fração , onde 𝑎 e 𝑏 são inteiros e 𝑏 0. Sendo que 𝑎 é o numerador da 
fração, e 𝑏 o denominador da fração. 
𝑄
𝑎
𝑏
 tais que,𝑎 e 𝑏 ∈ 𝑍 e 𝑏 0 
Soma entre números racionais : 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑎.
𝑀𝑀𝐶 𝑏;𝑑
𝑏 𝑐.
𝑀𝑀𝐶 𝑏;𝑑
𝑑
𝑀𝑀𝐶 𝑏;𝑑
 
Multiplicação entre números racionais : 
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
𝑎. 𝑐
𝑏.𝑑
 
 
Divisão entre números racionais : 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑎.𝑑
𝑏. 𝑐
 ;𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐 0 
 
Elemento Inverso : 
 Dado 𝑥 ∈ 𝑄, não nulo, existe o elemento inverso 𝑦 ∈ 𝑄, tal que : 
𝑥.𝑦 1 
 O elemento inverso 𝑦 pode ainda ser escrito na forma: 
𝑦
1
𝑥
𝑥 
 
Frações equivalentes: 
 As frações equivalentes são aquelas que embora escritas de forma diferente, 
representam a mesma quantidade. A diferença entre elas resulta de uma multiplicação tanto 
no numerador como no denominador por um mesmo valor natural diferente de zero (o que 
resulta em uma multiplicação por 1). Como no exemplo abaixo. 
 
 
12
9
4
3
, pois 
12
9
4
3
.
3
3
4
3
. 1
4
3
 
 
 
 
Números Decimais: 
 Quando a divisão da fração representada por um número racional não resulta 
em um valor exato (valor inteiro), então este número racional pode ser representado 
por um número decimal (um número que possui vírgula e casas decimais após a 
virgula). Os valores à direita da virgula na divisão podem ser representados por 
potências na base 10, porém com expoentes negativos, como no exemplo abaixo onde 
temos que a fração pode ser representada através do número decimal 0,625: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre números decimais, 
também podem ser realizadas através de suas frações correspondentes, como no exemplo 
abaixo: 
 
1,5 0,625
3
2
5
8
3.4 5.1
8
17
8
2,125 
 
Dizima periódica: 
 Quando um número decimal possui infinitas casas decimais à direita da vírgula, este 
número recebe a denominação de dízima periódica. A dízima periódica pode ser simples 
(quando possuem a parte inteira e após a vírgula apenas algarismos que se repetem, e.g 
1,33333), ou composta (quando possuem a parte inteira e depois da vírgula algarismos que não 
se repetem, além dos algarismos que se repetem, eg. 0,78888). 
 
Obtenção da fração correspondente a uma Dízima periódica: 
 Para obter a fração correspondente a uma dizima periódica 𝑥, você pode utilizar os 
passos abaixo: 
 1o passo: multiplique a dízima periódica 𝑥 por uma potência de 10 de forma que o 
número resultante possua a parte dos algarismos que se repetem logo após a virgula. 
 2o passo: multiplique novamente a dízima periódica por uma potência de 10 de forma 
que o número resultante possua a primeira parte referente aos algarismos que se 
repetem logo a esquerda da virgula. 
 3o passo: Subtraia a equação do 1o passo da equação do 2o passo. 
 4o passo: Isole o valor de 𝑥 na expressão obtendo o valor da fração correspondente a 
dízima. 
 
5 ∟8 
 50 0,625 
 20 
 40 
 0 
5
8
0,625 0. 10 6. 10 2. 10 5. 10 
 O exemplo abaixo ilustra estes passos para a dizima 𝑥 1,33333 
 1o passo: 
 Como neste caso os algarismos após a vírgula já se repetem, então podemos 
 escrever: 
10 . 𝑥 1,33333 ⇒ 𝑥 1,33333. 
 
 2o passo: De forma a que parte referente aos algarismos que se repetem apareçalogo 
 a esquerda da virgula, devemos agora multiplica a dízima 𝑥, por 10. Assim podemos 
 escrever: 
10. 𝑥 13,3333. 
 
 3o passo: Subtraindo a equação do passo 1 da equação do passo dois temos: 
 
10. 𝑥 𝑥 13,3333 1,3333 
9. 𝑥 12 
 
 4o passo: 𝑥 na expressão obtendo o valor da fração equivalente a dízima. 
 
𝑥
12
9
4
3
 
 
 
 
Conjunto dos números Irracionais: 
 Existem números decimais que possuem infinitas casas decimais e não 
periódicas , e que não podem ser expressos como uma fração entre dois inteiros, estes 
números pertencem ao conjunto dos números Irracionais. São exemplos destes 
números o 𝜋 3.14159265 … o número de Neper 𝑒 2.718281 … 
 
Conjunto dos números Reais: 
 A união do conjunto dos números Racionais com o conjunto dos números 
Irracionais forma o conjunto dos números reais. 
Propriedades dos números reais: 
 Para os números no conjunto dos números Reais (R) valem as mesmas 
propriedades de soma, multiplicação, distributiva, elemento oposto, e elemento 
inverso, já vistas. Além desta propriedades, temos que : 
 Para qualquer 𝑎 real, 𝑎 1 .𝑎 𝑒 𝑎 𝑎 
 Para todo 𝑎 0,𝑎 .𝑎 𝑎 𝑒 𝑎 𝑎 . 
 Para todo 𝑎 0, 𝑏 0, 𝑎. 𝑏 𝑎 . 𝑏 
 Para todo 0, 
 
Raiz n-ésima: 
 Dados um número real 𝑎 0 e um número natural 𝑛 1 chamamos de raiz n-ésima 
de a ao número x, tal que: 
x √a a ⇔ x a 
Potência com expoente Racional: 
 Seja a 𝑎 0 um número real e 0 um número racional então: 
𝑎 √𝑎 
 
 
Semana 4 
 
Expressões Numéricas: 
 Uma expressão numérica é uma combinação de números, operações e símbolos 
gráficos (parênteses, chaves e/ou colchetes). 
 
Ordem das operações nas Expressões Numéricas: 
 1º Resolver as potências e raízes 
 2º Resolver as multiplicações e divisões 
 3º Resolver as somas e subtrações 
 
Em uma expressão numérica com símbolos gráficos (parênteses, chaves e/ou colchetes), 
devemos seguir a seguinte ordem: 
 1º Resolver as operações dentro de parênteses 
 2º Resolver as operações dentro de colchetes 
 3º Resolver as operações dentro de chaves 
 
Obs. Cuidado com potenciações: 𝑎 𝑎 ⇒ 𝑎 𝑎 
 
 
Problemas Matemáticos: 
 Os problemas matemáticos muitas vezes buscam modelar um problema real, para a 
obtenção de uma solução matemática, que muitas vezes precisa ser validada em relação a sua 
aplicabilidade no mundo real. 
 Os problemas matemáticos são classificados por alguns autores como: 
 Exercícios de reconhecimento: onde o objetivo é identificar ou lembrar um conceito; 
 Exercícios de algoritmos: servem para treinar a habilidade em executar um algoritmo e 
reforçar conhecimentos anteriores; 
 Problemas-padrão: a solução do problema está contida no enunciado, a tarefa básica é 
transformar a linguagem usual em linguagem matemática; 
 Problemas heurísticos: sua solução envolve as operações que não estão contidas de 
forma explícita no enunciado, exigem um tempo para pensar e arquitetar uma 
estratégia; 
 Problemas de aplicação (contextualizados): são aqueles que retratam situações reais 
do dia a dia e exigem o uso da linguagem matemática para serem resolvidos. 
 
Obs. Fique sempre atento, muitos problemas matemáticos podem ser resolvidos com os 
conceitos de MMC e MDC da semana 2, muitos outros com os conceitos de razão e proporção 
da semana 5, e com os conceitos de regra de 3 da semana 6. Sendo o principal desafio, 
identificar e aplicar estes conceitos de acordo com o enunciado do problema. 
 
 
 
Semana 5 
 
Razão 
 Dados dois números reais 𝑎 e 𝑏, com 𝑏 0, chamamos de razão entre 𝑎 e 𝑏 ao 
quociente, 
𝑞
𝑎
𝑏
 
Nesta razão, 𝑎 é chamado de Antecedente e 𝑏 Consequente, e Lê-se "𝑎 está para 𝑏". 
 
Proporção 
 A proporção consiste na igualdade entre duas razões. Sejam 𝑎 , 𝑏, 𝑐 e 𝑑 , 
números reais com 𝑏 0 e 𝑑 0. Então podemos dizer que os números 𝑎 , 𝑏, 𝑐 e 𝑑 nessa 
ordem formam uma proporção: 
𝑎
𝑏
 
𝑐
𝑑
 ou 𝑎: 𝑏 𝑐:𝑑 
 
 Lê-se "𝑎 está para 𝑏, assim como 𝑐 está para 𝑑". Os termos 𝑎 e 𝑑 são denominados 
"extremos" da proporção, e os termos 𝑏 e 𝑐 são denominados "meios". 
 
Propriedade fundamental das proporções: 
Em qualquer proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
Outras propriedades das proporções: 
 
Dado que os números 𝑎 , 𝑏, 𝑐 e 𝑑 nessa ordem formam uma proporção: 
 
 𝑒 
 𝑒 
 𝑒 
 
.
.
 
 
 
Grandezas 
 Podemos dizer que grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado (p.ex. 
tempo, distância, velocidade, etc). 
 
 
Grandezas diretamente proporcionais: 
 
 Duas grandezas são diretamente proporcionais, se quando uma aumenta ou diminui, 
a outra também aumenta ou diminui na mesma proporção. 
 Matematicamente, se 𝑥 e 𝑥 são dois valores de uma grandeza 𝑥, relacionados com os 
valores 𝑦 e 𝑦 de uma outra grandeza 𝑦, que é diretamente proporcional, então a razão entre 
estes valores é uma constante, ou seja: 
 
𝑥 
𝑦 
 
𝑥 
𝑦 
𝑘; 𝑘 é chamada de constante de proporcionalidade 
 
 
 Imagine por exemplo o custo de uma mercadoria, em relação a quantidade de 
mercadoria comprada. Temos que quanto mais mercadoria comprada, maior será o custo. 
Assim temos que mercadoria e o custo, são grandezas diretamente proporcionais. Imagine por 
exemplo que 12 reais comprem 1kg de café. Então com 24 reais compram 2kg de café . Assim, 
se aplicarmos a equação acima temos: 
 
12
1
 
24
2
12 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais: 
 
 Duas grandezas são inversamente proporcionais, se quando uma varia a outra também 
varia na proporção inversa, ou seja, se uma aumenta a outra diminui na mesma proporção. 
 Matematicamente, se 𝑥 e 𝑥 são dois valores de uma grandeza 𝑥, relacionados com os 
valores 𝑦 e 𝑦 de uma outra grandeza 𝑦, que é inversamente proporcional, então o produto 
entre estes valores é uma constante, ou seja: 
 
𝑥 .𝑦 𝑥 .𝑦 𝑘; 𝑘 é chamada de constante de proporcionalidade 
 
 Imagine por exemplo que um pintor leva 4 dias para pintar uma casa, se dobrarmos o 
números de pintores (colarmos 2 pintores trabalhando), o tempo para pintar a casa cairá pela 
metade ( levará 2 dias). Assim, temos que quanto mais pintores tivermos trabalhando, menor 
será o tempo para pintar uma casa. Portanto, pintores e tempo são grandezas inversamente 
proporcionais nesta situação. Assim se aplicarmos a equação acima temos: 
 
1.4 2.2 4 
 
 
Várias grandezas proporcionais: 
 
 De uma forma geral, se uma grandeza 𝑥 é diretamente proporcional às grandezas 
𝑦 ,𝑦 ,𝑦 , … ,𝑦 e inversamente proporcional às grandezas 𝑧 , 𝑧 ,𝑧 , … , 𝑧 , então estas 
grandezas juntas satisfazem uma relação da forma: 
 
 
𝑥 𝑘
𝑦 .𝑦 .𝑦 … 𝑦 
𝑧 . 𝑧 . 𝑧 … 𝑧 
 ; 𝑘 sendo uma constante 
 
 
 
Semana 6 
 
Regra de Três Simples: 
 É um processo prático para resolver problemas que envolvem a relação de 
proporcionalidade entre duas grandezas, conhecendo três de seus valores e tendo, por 
objetivo, encontrar um quarto valor. São classificadas em dois tipos: 
 Direta, quando as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. 
 Inversa, quando as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. 
 
 
Passos para resolver uma regra de três simples devemos seguir os seguintes passos: 
 
 Organize os dados em uma tabela de comparação das grandezas com duas colunas, 
onde cada coluna corresponde a uma grandeza. 
 Na coluna da grandeza que corresponde ao valor que se deseja determinar, na posição 
correspondente ao valor a ser determinado escreva 𝑥 . 
 Na coluna da outra grandeza, relacione os valores correspondentes àquela grandeza, 
lembrando que devem estar sempre na mesma unidade. 
 Analise a variação das grandezas. Indique se são diretamente ou inversamente 
proporcionais. Você pode fazer isso utilizando setas no mesmo sentindo (diretamente 
proporcionais) ou no sentido oposto (inversamente proporcionais), ou ainda usando 
um sinal de "+"(diretamente proporcionais) ou de "-" (inversamente proporcionais). 
 Estabeleçauma proporção com os valores da tabela e resolva. 
 Obs1. Cada coluna da tabela forma uma razão. 
 Obs2. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, invertemos a razão 
 correspondente aos valores da tabela da segunda grandeza, para a montagem 
 da proporção). 
 
Ex. Se 8 operários levantam um muro em 12 dias, quantos operários serão necessários para 
levantar o mesmo muro em 3 dias? 
 
Operários Dias 
8 12 
𝑥 3 
+ - 
 
 
8
𝑥
3
12
⟺
1
𝑥
3
96
⟺
1
𝑥
1
32
⇒ 𝑥 32 funcionários 
 
 
Regra de Três Composta: 
 É um processo prático para resolver problemas que envolvem a relação de 
proporcionalidade entre três ou mais grandezas, tendo por objetivo, encontrar um valor 
desconhecido de uma delas. 
 
Passos para resolver uma regra de três simples devemos seguir os seguintes passos: 
 
 Organize os dados em uma tabela de comparação das grandezas, onde cada coluna 
corresponde a uma grandeza. 
 Na coluna da grandeza que corresponde ao valor que se deseja determinar, na posição 
correspondente ao valor a ser determinado escreva 𝑥 . 
 Nas colunas das demais grandezas, relacione os valores correspondentes a cada uma 
das grandezas, lembrando que devem estar sempre na mesma unidade. 
 Analise a variação das grandezas. Indique se são diretamente ou inversamente 
proporcionais. Você pode fazer isso utilizando setas no mesmo sentindo (diretamente 
proporcionais) ou no sentido oposto (inversamente proporcionais), ou ainda usando 
um sinal de "+"(diretamente proporcionais) ou de "-" (inversamente proporcionais). 
 Estabeleça uma proporção com os valores da tabela e resolva. 
 Obs1. Cada coluna da tabela forma uma razão. 
 Obs2. Quando uma determinada grandeza é inversamente proporcional, invertemos a 
 razão correspondente aos valores da tabela daquela grandeza, para a montagem 
 da proporção). 
 
Ex. Dezoito mineiros extraem, em 25 dias, 3 toneladas de minério de ferro. Quantos dias serão 
necessários para que 30 mineiros consigam extrair 6 toneladas? 
 
Dias Mineiros Ferro 
25 18 3 
𝑥 30 6 
+ - + 
 
 
25
𝑥
30
18
.
3
6
⟺
1
𝑥
30.3
18.6.25
⟺
1
𝑥
90
2700
⟹ 𝑥
2700
90
30 dias 
 
 
 
Semana 7 
 
Porcentagem: 
 A porcentagem pode ser entendida como uma forma de expressarmos uma dada 
quantidade em relação a um todo que foi dividido em 100 partes iguais. Assim por exemplo, se 
uma dada quantidade de interesse representa 60 partes das 100 partes de algo, ela 
corresponderá a 60%. Podemos representar a porcentagem na forma de uma fração. Temos 
que : 
1%
1
100
; uma parte de 100 partes 
 
 Assim, se quisermos calcular 𝑥% de uma determinada quantidade 𝑦, basta realizarmos 
o cálculo de 𝑥. .𝑦. 
 Suponha por exemplo que desejamos calcular 20% de 30. Aplicando a fórmula temos: 
20. . 30 6. 
 
Escrevendo frações na forma de porcentagens 
 Uma fração pode ser escrita na forma de uma porcentagem. Em muitas situações é 
fácil determinarmos s o valor da porcentagem, reescrevendo a fração na forma de uma fração 
equivalente que tenha como denominador o número 100. Veja os exemplos a seguir: 
 
1
5
1
5
.
20
20
20
100
20% ; 
1
4
1
4
.
25
25
25
100
25% 
 
 Também é possível aplicar regra de três para determinarmos a porcentagem 
correspondente a uma dada fração. Suponha por exemplo que queremos determinar a 
qual porcentagem corresponde de um determinado valor. Aplicando a regra de três 
temos: 
Porcentagem(%) Quantidade 
100 1 
𝑥 3 8⁄ 
+ + 
 
Obs1. Note que 100% corresponde a 1 
Obs2. As grandezas são diretamente proporcionais, quanto maior a quantidade, maior 
a porcentagem. 
100
𝑥
1
3
8
⟺
100
𝑥
8
3
⟹ 𝑥
100.3
8
37,5% 
 
 
 
Aumento e Desconto 
 É bastante comum em problemas envolvendo porcentagens, queremos determinar um 
novo valor 𝑉 de um item que possuia originalmente um valor 𝑉, e que sofreu um aumento ou 
um desconto de uma porcentagem de 𝑥%. Aplicando-se os conceitos de porcentagem chega-
se as seguintes expressões para o cálculo do aumento ou do desconto. 
 
Aumento: 
 𝐕𝐧 V
𝒙
𝟏𝟎𝟎
. V 𝟏
𝐱
𝟏𝟎𝟎
.𝐕 
 
Desconto: 
𝑉 V
𝒙
𝟏𝟎𝟎
. V 1
𝑥
100
.𝑉 
 
 
Juros Simples e Juros Compostos: 
 É comum em financiamentos, ou pagamentos de dívidas o cálculo de juros. Vimos duas 
modalidades de juros: os juros simples e os juros compostos. Quando aplicamos juros simples, 
não há incidência de juros sobre a taxa de juros aplicada ao longo do período considerado, 
somente em relação ao capital em questão. Já no caso de juros compostos, há incidência de 
juros também sobre a taxa de juros que foi aplicada ao longo do período considerado, 
resultando no que muitas vezes é conhecido como "juros sobre juros". 
 
Juros Simples 
 Para um capital 𝐶 a uma taxa de juros simples 𝑖 por um período de tempo 𝑡 , o valor do 
juros 𝐽 ao final do período será: 
𝐽 𝐶. 𝑖. 𝑡 
 
 O valor resultante da soma do 𝐶 com os juros 𝐽 é denominado montante, 𝑀 𝐶 𝐽. 
Assim: 
𝑀 𝐶 𝐶. 𝑖. 𝑡 𝐶 1 𝑖. 𝑡 
 
 
 
Juros Compostos 
 Para um capital 𝐶 a uma taxa de juros compostos 𝑖 por um período de tempo 𝑡 , o 
valor do montante obtido é dado por: 
𝑀 𝐶. 1 𝑖 
 
 E os juros 𝐽 ao final do período será: 
𝐽 𝑀 𝐶 
 
 
Aqui terminamos o nosso material de revisão, lembre-se que este material não deve 
ser utilizado como única fonte de estudos, e que o estudo dos materiais-base/textos-base são 
de fundamental importância para que você possa ter um bom aproveitamento nas avaliações.