Considere o campo vetorial descrito pela funcao F (x,y) = (x,x³ + 3xy²). Quanto vale a integral de linha deste campo ao longo da semicircunferéncia...

Para calcular a integral de linha ao longo da semicircunferência x² + y² = 4, com 0 < t < x, podemos parametrizar a curva como x = 2cos(t) e y = 2sen(t), onde t varia de 0 a pi. Então, podemos calcular a integral de linha usando a fórmula: ∫(C) F(x,y) · dr = ∫(0 to pi) F(2cos(t), 2sen(t)) · (-2sen(t), 2cos(t)) dt Substituindo F(x,y) = (x, x³ + 3xy²), temos: ∫(C) F(x,y) · dr = ∫(0 to pi) (2cos(t), 8cos³(t)sen(t) + 12cos(t)sen³(t)) · (-2sen(t), 2cos(t)) dt Realizando as integrações, obtemos: ∫(C) F(x,y) · dr = ∫(0 to pi) (-4cos²(t) - 16cos²(t)sen²(t)) dt = -4∫(0 to pi) cos²(t) dt Usando a identidade trigonométrica cos²(t) = (1 + cos(2t))/2, temos: ∫(C) F(x,y) · dr = -4∫(0 to pi) (1 + cos(2t))/2 dt = -2∫(0 to pi) (1 + cos(2t)) dt Integrando, obtemos: ∫(C) F(x,y) · dr = -2[t + (sen(2t))/2] from 0 to pi = -2pi Portanto, o valor da integral de linha ao longo da semicircunferência x² + y² = 4, com 0 < t < x, é -2pi.