Considere o campo vetorial descrito pela função F(x,y)=(1+xy,x−y). Quanto vale a integral de linha deste campo ao longo da linha r(t)=(t,t), em que...

Para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da linha r(t)=(t,t), onde -1≤t≤2, precisamos parametrizar a linha e realizar a integração. Primeiro, vamos calcular a derivada da linha r(t) em relação a t: r'(t) = (1, 1) Agora, vamos substituir os valores de x, y e r'(t) na função F(x,y)=(1+xy,x−y): F(r(t)) = (1 + t*t, t - t) = (1 + t^2, 0) Agora, podemos calcular a integral de linha usando a fórmula: ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt Substituindo os valores, temos: ∫[-1,2] (1 + t^2) · (1, 1) dt Integrando em relação a t, temos: ∫[-1,2] (1 + t^2) dt = [t + (t^3)/3] [-1,2] Agora, vamos substituir os limites de integração: [(2 + (2^3)/3) - (-1 + (-1^3)/3)] Simplificando, temos: [(2 + 8/3) - (-1 + 1/3)] [(6/3 + 8/3) - (-3/3 + 1/3)] [(14/3) - (2/3)] 12/3 4 Portanto, o valor da integral de linha é 4.