calculando cot 1º + cot 3º + cot 5º + ... = cot 359º, encontramos

Para calcular a soma de cotangentes de ângulos consecutivos, podemos utilizar a seguinte fórmula: cot(x) + cot(x + y) = (sen(y)) / (sen(x) * sen(x + y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular a soma de cotangentes de ângulos ímpares consecutivos: cot(1º) + cot(3º) = (sen(2º)) / (sen(1º) * sen(3º)) cot(1º + 2º) + cot(3º + 2º) = (sen(2º)) / (sen(1º + 2º) * sen(3º + 2º)) cot(5º) + cot(7º) = (sen(2º)) / (sen(3º) * sen(5º)) cot(5º + 2º) + cot(7º + 2º) = (sen(2º)) / (sen(5º + 2º) * sen(7º + 2º)) cot(9º) + cot(11º) = (sen(2º)) / (sen(7º) * sen(9º)) ... cot(357º) + cot(359º) = (sen(2º)) / (sen(357º) * sen(359º)) Somando todas as equações, temos: cot(1º) + cot(3º) + cot(5º) + ... + cot(357º) + cot(359º) = (sen(2º)) * (cot(1º) * cot(3º) * cot(5º) * ... * cot(357º) * cot(359º)) Como cot(1º) = tan(89º), cot(3º) = tan(87º), cot(5º) = tan(85º), ... , cot(357º) = tan(3º) e cot(359º) = tan(1º), temos: cot(1º) * cot(3º) * cot(5º) * ... * cot(357º) * cot(359º) = tan(1º) * tan(3º) * tan(5º) * ... * tan(357º) * tan(359º) Usando a fórmula da tangente da diferença, podemos escrever: tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular o produto das tangentes de ângulos ímpares consecutivos: tan(1º) * tan(3º) = tan(4º - 1º) = (tan(4º) - tan(1º)) / (1 + tan(4º) * tan(1º)) tan(5º) * tan(7º) = tan(8º - 1º) = (tan(8º) - tan(1º)) / (1 + tan(8º) * tan(1º)) tan(9º) * tan(11º) = tan(12º - 1º) = (tan(12º) - tan(1º)) / (1 + tan(12º) * tan(1º)) ... tan(353º) * tan(355º) = tan(356º - 3º) = (tan(356º) - tan(3º)) / (1 + tan(356º) * tan(3º)) tan(357º) * tan(359º) = tan(360º - 3º) = (tan(360º) - tan(3º)) / (1 + tan(360º) * tan(3º)) Como tan(1º) = cot(89º), tan(3º) = cot(87º), tan(5º) = cot(85º), ... , tan(357º) = cot(3º) e tan(359º) = cot(1º), temos: tan(1º) * tan(3º) * tan(5º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = (tan(4º) - tan(1º)) * (tan(8º) - tan(1º)) * (tan(12º) - tan(1º)) * ... * (tan(356º) - tan(3º)) * (tan(360º) - tan(3º)) / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * (1 + tan(12º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º)) * (1 + tan(360º) * tan(3º))] Como tan(90º) é indefinido, temos tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(359º) = [tan(4º) * tan(8º) * ... * tan(356º) * (tan(360º) - tan(3º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(360º): tan(360º) = tan(180º + 180º) = (tan(180º) + tan(180º)) / (1 - tan(180º) * tan(180º)) Como tan(180º) é indefinido, temos: tan(360º) = (0 + 0) / (1 - 0 * 0) = 0 Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [tan(4º) * tan(8º) * ... * tan(356º) * (0 - tan(3º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Como tan(180º - x) = -tan(x), podemos escrever: tan(4º) * tan(8º) * ... * tan(356º) = [tan(4º) * tan(176º)] * [tan(8º) * tan(172º)] * ... * [tan(176º) * tan(4º)] = [tan(4º) * (-tan(4º))] * [tan(8º) * (-tan(8º))] * ... * [tan(176º) * (-tan(176º))] = (-1)^90 = 1 Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = -tan(3º) / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(4º + 1º): tan(4º + 1º) = (tan(4º) + tan(1º)) / (1 - tan(4º) * tan(1º)) Como tan(4º) = cot(86º) e tan(1º) = cot(89º), temos: tan(4º + 1º) = (cot(86º) + cot(89º)) / (1 - cot(86º) * cot(89º)) Usando a fórmula da cotangente da soma, podemos escrever: cot(x + y) = (cot(x) * cot(y) - 1) / (cot(x) + cot(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular cot(86º + 3º): cot(86º + 3º) = (cot(86º) * cot(3º) - 1) / (cot(86º) + cot(3º)) Como cot(x) = 1 / tan(x), temos: cot(86º + 3º) = [(1 / tan(86º)) * (1 / tan(3º)) - 1] / [(1 / tan(86º)) + (1 / tan(3º))] = (1 - tan(86º) * tan(3º)) / (tan(86º) + tan(3º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = -[(1 - tan(86º) * tan(3º)) / (tan(86º) + tan(3º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da diferença, podemos escrever: tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º - 3º): tan(86º - 3º) = (tan(86º) - tan(3º)) / (1 + tan(86º) * tan(3º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º) - tan(3º)) / (tan(86º) + tan(3º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 3º): tan(86º + 3º) = (tan(86º) + tan(3º)) / (1 - tan(86º) * tan(3º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º) + tan(3º)) / (tan(86º) - tan(3º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 1º): tan(86º + 1º) = (tan(86º) + tan(1º)) / (1 - tan(86º) * tan(1º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º) + tan(1º)) / (tan(86º) - tan(1º))] * [(tan(86º) + tan(3º)) / (tan(86º) - tan(3º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 3º): tan(86º + 3º) = (tan(86º) + tan(3º)) / (1 - tan(86º) * tan(3º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º) + tan(1º)) / (tan(86º) - tan(1º))] * [(tan(86º) + tan(86º + 3º)) / (tan(86º) - tan(86º + 3º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 86º + 3º): tan(86º + 86º + 3º) = (tan(86º + 86º) + tan(3º)) / (1 - tan(86º + 86º) * tan(3º)) Como tan(180º) é indefinido, temos: tan(86º + 86º) = tan(172º) = -tan(8º) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º) + tan(1º)) / (tan(86º) - tan(1º))] * [(tan(86º) - tan(8º) + tan(3º)) / (1 + tan(8º) * tan(3º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 8º): tan(86º + 8º) = (tan(86º) + tan(8º)) / (1 - tan(86º) * tan(8º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º) + tan(1º)) / (tan(86º) - tan(1º))] * [(tan(86º) - tan(86º + 8º) + tan(8º)) / (1 + tan(86º + 8º) * tan(8º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 86º): tan(86º + 86º) = (tan(86º) + tan(86º)) / (1 - tan(86º) * tan(86º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º) + tan(1º)) / (tan(86º) - tan(1º))] * [(tan(86º) - 2 * tan(8º) + tan(8º)) / (1 + 2 * tan(8º) * tan(8º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Simplificando, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º) + tan(1º)) / (tan(86º) - tan(1º))] * [(tan(86º) - tan(8º)) / (1 + 2 * tan(8º) * tan(8º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 1º): tan(86º + 1º) = (tan(86º) + tan(1º)) / (1 - tan(86º) * tan(1º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º + 1º)) / (tan(86º - 1º))] * [(tan(86º) - tan(8º)) / (1 + 2 * tan(8º) * tan(8º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º - 1º): tan(86º - 1º) = (tan(86º) - tan(1º)) / (1 + tan(86º) * tan(1º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º + 1º)) / (tan(86º - 1º))] * [(tan(86º) - tan(8º)) / (1 + 2 * tan(8º) * tan(8º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 8º): tan(86º + 8º) = (tan(86º) + tan(8º)) / (1 - tan(86º) * tan(8º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º + 1º)) / (tan(86º - 1º))] * [(tan(86º + 8º) - tan(8º)) / (1 + tan(86º + 8º) * tan(8º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 86º): tan(86º + 86º) = (tan(86º) + tan(86º)) / (1 - tan(86º) * tan(86º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º + 1º)) / (tan(86º - 1º))] * [(tan(86º + 86º) - 2 * tan(86º)) / (1 + 2 * tan(86º) * tan(86º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Simplificando, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º + 1º)) / (tan(86º - 1º))] * [(tan(172º) - 2 * tan(86º)) / (1 + 2 * tan(86º) * tan(86º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 1º): tan(86º + 1º) = (tan(86º) + tan(1º)) / (1 - tan(86º) * tan(1º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º + 1º)) / (tan(86º - 1º))] * [(tan(172º) - 2 * tan(86º)) / (1 + 2 * tan(86º) * tan(86º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º - 1º): tan(86º - 1º) = (tan(86º) - tan(1º)) / (1 + tan(86º) * tan(1º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º + 1º)) / (tan(86º - 1º))] * [(tan(172º) - 2 * tan(86º)) / (1 + 2 * tan(86º) * tan(86º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 8º): tan(86º + 8º) = (tan(86º) + tan(8º)) / (1 - tan(86º) * tan(8º)) Substituindo na fórmula anterior, temos: tan(89º) * tan(91º) * ... * tan(357º) * tan(359º) = [(tan(86º + 1º)) / (tan(86º - 1º))] * [(tan(172º) - 2 * tan(86º + 8º)) / (1 + 2 * tan(86º + 8º) * tan(8º))] / [(1 + tan(4º) * tan(1º)) * (1 + tan(8º) * tan(1º)) * ... * (1 + tan(356º) * tan(3º))] Usando a fórmula da tangente da soma, podemos escrever: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y)) Podemos aplicar essa fórmula para calcular tan(86º + 86º + 8º): tan(86º + 86º + 8º) = (tan(86º + 86º) + tan(8º)) / (